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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.3 - Ex. 5

Derive.

g ( t ) = t 3 c o s   t

Passo 1

Falaee, belezinha???

A regra do produto é uma ferramenta fundamental no cálculo diferencial que nos permite derivar o produto de duas funções. Se tivermos duas funções u   e   v , a derivada do produto dessas funções, u t ⋅ v ( t ) , é dada por:

u ⋅ v ' = u ' v + u v '

Onde:

- u ' ( t ) é a derivada de u ( t ) ,

- v ' ( t ) é a derivada de v ( t ) .

Na nossa função g ( t ) = t 3 c o s   t

podemos ver que t 3   e   c o s ⁡ ( t ) são as duas funções multiplicadas. Portanto, aplicamos a regra do produto para encontrar a derivada.

Passo 2

Bom... queremos derivar a seguinte função:

g ( t ) = t 3 c o s   t

Para isso, a gente sabe que a derivada da potência e do cosseno são dadas da seguinte forma:

u n ' = n u n - 1

cos ⁡ u ' = - sen ⁡ u

Além disso, a gente vai precisar aplicar a regra do produto, que é dada por:

u v ' = u ' v + u v '

E aí?? Bora lá aplicar?? 😉

Passo 3

Aplicando a regra do produto:

g ' ( t ) = ( t 3 ) '   c o s   t + t 3   ( c o s   t ) '

Assim, derivando a potência e o cosseno, temos:

g ' t = 3 t 3 - 1 cos ⁡ t -   t 3   s e n   t ∴

g ' ( t ) = 3 t 2   c o s   t   -   t 3   s e n   t

Entendeu direitinho? Responde aee 😉

Resposta

g ' ( t ) = 3 t 2   c o s   t   - �� t 3   s e n   t

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