Verifique se as funções dadas são soluções da equação diferencial, e determine seu wronskiano.

x y ' ' ' - y ' ' = 0 ;

1 ,     x ,     x 3

Passo 1

O exercício nos dá uma equação diferencial de terceira ordem e três possíveis soluções: f x = 1 ; g x = x e h x = x 3 . Temos que verificar se as funções são soluções do problema e, em seguida, determinar o wronskiano. Nosso primeiro passo será calcular as derivadas de cada função até a terceira ordem e, então, aplicar na equação diferencial. Ao final, se as funções forem soluções iremos usá-las para calcular o wronskiano. Tudo bem??? Vamos lá.

Passo 2

Vamos começar com a função f x = 1 :

f ' x = d d x f x = d d x ( 1 )

f ' x = 0

Então

f ' ' x = 0

f ' ' ' x = 0

Aplicando na equação diferencial:

x y ' ' ' - y ' ' = 0

0 - 0 = 0

E f x = 1 é solução da equação.

A próxima função é g x = x :

g ' x = d d x g x = d d x ( x )

g ' x = 1

g ' ' x = d d x g ' x = d d x 1

g ' ' x = 0

Então

g ' ' ' x = 0

Se aplicarmos na equação diferencial:

x y ' ' ' - y ' ' = 0

0 - 0 = 0

E verificamos que g x = x também é solução.

Vamos agora para a função h x = x 3 :

h ' x = d d x h x = d d x x 3

h ' x = 3 x 2

h ' ' x = d d x h ' x = d d x 3 x 2

h ' ' t = 6 x

E

h ' ' ' x = d d x h ' ' x = d d x ( 6 x )

h ' ' ' x = 6

Substituindo na equação:

x y ' ' ' - y ' ' = 0

6 x - 6 x = 0

Então, h x = x 3 também é solução.

Passo 3

Nosso próximo passo será determinar o wronskiano. O wronskiano é definido como:

W = f ( t ) g ( t ) h ( t ) f ' ( t ) g ' ( t ) h ' ( t ) f ' ' ( t ) g ' ' ( t ) h ' ' ( t )

O determinante da matriz em que cada coluna representa uma função solução e cada uma das suas derivadas até uma ordem a menos que a ordem da equação diferencial. Como nossa equação diferencial era de terceira ordem, nosso wronskiano deve ir até a segunda derivada. Tudo bem???

Então, nosso wronskiano é:

W = 1 x x 3 0 1 3 x 2 0 0 6 x =

1 * 1 * 6 x + x * 3 x 2 * 0 + x 3 * 0 * 0 - 0 * 1 * x 3 - 0 * 3 x 2 * 1 - 6 x * 0 * x =

W = 6 x

Resposta

As funções são solução da equação diferencial e o wronskiano é W = 6 x .

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