Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 62
Verifique que a regra de L’Hôpital não ajuda a encontrar o limite; se ele existir, encontre-o com algum outro método.
62.
Passo 1
Primeiro, verificamos se a função é passível de se aplicar a regra de L’Hôpital:
Tendo como indeterminação , podemos aplicar a regra. Derivamos numerador e denominador e teremos:
Chegamos, no entanto, à conclusão de que aplicar L’Hôpital não os ajuda a calcular o limite. Não podemos calcular diretamente funções trigonométricas no infinito. Precisamos tentar calcular o limite de outra forma.
Passo 2
Podemos tentar calcular o limite dessa função “quebrando” a função da seguinte maneira:
Da trigonometria, sabemos que o seno de um ângulo está limitado sempre entre e . Escrevemos então:
Manipulando um pouco essa inequação, somando 2 a cada termo, temos:
Passo 3
Seguindo, multiplicamos os termos pela parte da função que falta, para completar a função original, da seguinte forma:
E pra que todo esse procedimento?
Bom, esses são os passos do conhecido Teorema do Confronto, que diz que, quando uma função está limitada entre o valor de duas outras funções e , os limites de e , avaliados em um determinado ponto vão equivaler ao limite de , avaliado nesse mesmo ponto.
Dessa forma, vamos calcular os limites das funções e , respectivamente e , pra quando tende a (+) infinito. Vamos ter:
Passo 4
Concluímos então que, pelo Teorema do confronto, como está limitada entre e , o limite para quando tender a (+) infinito da função também vai valer .
Essa é, então, a forma de calcular o limite da função, já que a regra de L’Hôpital não se aplica!
Resposta
Limite não passível de se resolver por L’Hôpital.