Enunciado

Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável.

(b) lim t → - 2 ⁡ t 3 + 4 t 2 + 4 t t + 2 t - 3   i → + j →

Passo 1

Galerinha, antes de aplicarmos o limite, vamos manipular algebricamente nossa expressão. Vamos olhar para a componente i → . No numerador, podemos colocar em evidência t , obtendo:

t 3 + 4 t 2 + 4 t t + 2 t - 3 = t t 2 + 4 t + 4 ( t + 2 ) ( t - 3 )

A expressão t 2 + 4 t + 4 é um produto notável! Podemos escrever como o quadrado de uma soma. Assim, t 2 + 4 t + 4 = t + 2 2 . Logo,

t 3 + 4 t 2 + 4 t t + 2 t - 3 = t t + 2 2 ( t + 2 ) ( t - 3 ) = t t + 2 ( t - 3 )

Uma vez feita as simplificações, vamos reescrever nosso limite!

lim t → - 2 ⁡ t 3 + 4 t 2 + 4 t t + 2 t - 3   i → + j → = lim t → - 2 ⁡ t t + 2 ( t - 3 )   i → + j →

Passo 2

Antes de encontrarmos o valor do limite, vamos aplicar uma propriedade de limites aqui: o limite de uma soma é igual a soma dos limites. Portanto,

lim t → - 2 ⁡ t t + 2 t - 3   i → + j → = lim t → - 2 ⁡ t t + 2 t - 3 i → + lim t → - 2 ⁡ j →

O valor do limite será igual a:

lim t → - 2 ⁡ t t + 2 t - 3   i → + j → = - 2 - 2 + 2 - 2 - 3 i → + [ j → ] = j →

Resposta

O limite é igual a:

lim t → - 2 ⁡ t 3 + 4 t 2 + 4 t t + 2 t - 3   i → + j → = j →

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