a) O que é o raio de convergência de uma série de potências? Como você o encontra?

b) O que é o intervalo de convergência de uma série de potências? Como você o encontra?

Passo 1

Vamos lá galerinha!!!Essa é uma questão bastante conceitual e que irá exigir relembrar um pouco a teoria.Vamoos nos recordar que uma série de potências é uma série que possui a seguinte cara:

∑ n = 0 ∞ c n x - a n

(As vezes é necessário algum algebrismo para chegar à essa forma)

Essa é uma série centrada em x = a e nós temos três possibilidades de convergência:

  1. Converge apenas quando x = a .
  2. Converge para qualquer x .
  3. Converge para alguns valores de x .

É nesse terceito caso que entra nosso conceito de raio de convergência e intervalo de convergência. Que servem para definir para quais valores de x essa série converge ou não.

Passo 2

a ) O raio de convergência de uma série de potências do tipo:

∑ n = 0 ∞ c n x - a n = c 0 + c 1 x - a + c 2 x - a 2 + c 3 x - a 3 + ⋯

é um número positivo R tal que:

A   s é r i e   c o n v e r g e   s e   x - a < R A   s é r i e   d i v e r g e   s e   x - a > R

Em outras palavras, o raio de convergência é uma medida que nos diz até que distância do centro da série x = a , a série converge.

O cálculo do raio de convergência R é feito através dos diversos testes de convergência quando aplicados a uma dada série de potências, como por exemplo o teste da razão e o teste da raiz. No caso do teste da razão, a fórmula fica assim:

R = lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1

Passo 3

b ) O intervalo de convergência de uma série de potências do tipo:

∑ n = 0 ∞ c n x - a n = c 0 + c 1 x - a + c 2 x - a 2 + c 3 x - a 3 + ⋯

é um intervalo I definido para a variável x tal que:

A   s é r i e   c o n v e r g e   s e   x ∈ I A   s é r i e   d i v e r g e   s e   x ∉ I

O intervalo de convergência é o conjunto de todos os valores de x para os quais a série converge. Enquanto o raio te dá a ‘distância’ ao redor do centro a , o intervalo mostra exatamente onde essa convergência acontece.

Um erro comum é achar que para encontrar o intervalo de convergência, basta somar e subtrair o raio do centro da série. Mas o pulo do gato é que esse intervalo pode ser fechado ou aberto. Então a gente tem que testar a convergência nos extremos do intervalo para saber se eles estão incluídos ou não.

O intervalo de convergência pode ter as seguintes formas, dependendo da convergência nos extremos no intervalo:

I = ( a - R , a + R ) ( a - R , a + R ] [ a - R , a + R ) [ a - R , a + R ]

Para verificar essa convergência, a gente vai usar os mesmos testes de convergência usados em diferentes séries, dependendo da forma que a série assume nesses pontos.

Resposta

O raio de convergência de uma série de potências é a distância máxima para o qual a série converge ao redor do seu centro. Já o intervalo de convergência é o conjunto de valores para o qual a série converge.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados