O que é o raio de convergência de uma série de potências? Como você o encontra?
O que é o intervalo de convergência de uma série de potências? Como você o encontra?
Passo 1
Vamos lá galerinha!!!Essa é uma questão bastante conceitual e que irá exigir relembrar um pouco a teoria.Vamoos nos recordar que uma série de potências é uma série que possui a seguinte cara:
(As vezes é necessário algum algebrismo para chegar à essa forma)
Essa é uma série centrada em e nós temos três possibilidades de convergência:
- Converge apenas quando .
- Converge para qualquer .
- Converge para alguns valores de .
É nesse terceito caso que entra nosso conceito de raio de convergência e intervalo de convergência. Que servem para definir para quais valores de essa série converge ou não.
Passo 2
O raio de convergência de uma série de potências do tipo:
é um número positivo tal que:
Em outras palavras, o raio de convergência é uma medida que nos diz até que distância do centro da série , a série converge.
O cálculo do raio de convergência é feito através dos diversos testes de convergência quando aplicados a uma dada série de potências, como por exemplo o teste da razão e o teste da raiz. No caso do teste da razão, a fórmula fica assim:
Passo 3
O intervalo de convergência de uma série de potências do tipo:
é um intervalo definido para a variável tal que:
O intervalo de convergência é o conjunto de todos os valores de para os quais a série converge. Enquanto o raio te dá a ‘distância’ ao redor do centro , o intervalo mostra exatamente onde essa convergência acontece.
Um erro comum é achar que para encontrar o intervalo de convergência, basta somar e subtrair o raio do centro da série. Mas o pulo do gato é que esse intervalo pode ser fechado ou aberto. Então a gente tem que testar a convergência nos extremos do intervalo para saber se eles estão incluídos ou não.
O intervalo de convergência pode ter as seguintes formas, dependendo da convergência nos extremos no intervalo:
Para verificar essa convergência, a gente vai usar os mesmos testes de convergência usados em diferentes séries, dependendo da forma que a série assume nesses pontos.
Resposta
O raio de convergência de uma série de potências é a distância máxima para o qual a série converge ao redor do seu centro. Já o intervalo de convergência é o conjunto de valores para o qual a série converge.