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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.8 - Ex. 2

a ) O que é o raio de convergência de uma série de potências? Como você o encontra?

b ) O que é o intervalo de convergência de uma série de potências? Como você o encontra?

Passo 1

Vamos lá galerinha!!!Essa é uma questão bastante conceitual e que irá exigir relembrar um pouco a teoria.Vamoos nos recordar que uma série de potências é uma série que possui a seguinte característica:

∑ n = 0 ∞ c n x - a n

(As vezes é necessário algum algebrismo para chegar à essa forma)

Essa série possui apenas três possibilidades:

  1. Converge apenas quando x = a .
  2. Converge para qualquer x .
  3. Converge para alguns valores de x .

É nesse terceito caso que entra nosso conceito de raio de convergência e intervalo de convergência. Que servem para definir para quais valores de x essa série converge ou não.

Passo 2

a ) O raio de convergência de uma série de potências do tipo:

∑ n = 0 ∞ c n x - a n = c 0 + c 1 x - a + c 2 x - a 2 + c 3 x - a 3 + ⋯

é um número positivo R tal que:

A   s é r i e   c o n v e r g e   s e   x - a < R A   s é r i e   d i v e r g e   s e   x - a > R

O cálculo do raio de convergência R é feito através dos diversos testes de convergência quando aplicados a uma dada série de potências.

Passo 3

b ) O intervalo de convergência de uma série de potências do tipo:

∑ n = 0 ∞ c n x - a n = c 0 + c 1 x - a + c 2 x - a 2 + c 3 x - a 3 + ⋯

é um intervalo I definido para a variável x tal que:

A   s é r i e   c o n v e r g e   s e   x ∈ I A   s é r i e   d i v e r g e   s e   x ∉ I

O intervalo de convergência I é encontrado mediante a determinação do raio de convergência R , podendo ser das seguintes formas:

I = ( a - R , a + R ) ( a - R , a + R ] [ a - R , a + R ) [ a - R , a + R ]

Resposta

Questão teórica

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Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .24. 1 - x 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .23. x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + ∑ k = 0 ∞ a k x k
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .25. ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1