Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.2 - Ex. 40
(a) Em que aspectos os teoremas de Fubini e Clairaut são semelhantes?
(b) Se é contínua em e
para mostre que .
Passo 1
E aiii turma, beleza? Bora lá.
A questão solicita na letra (a) que mencionamos em quais aspectos os teoremas de Fubini e Clairaut são semelhantes.
Também forneceu uma função continua em e uma integral dupla:
para .
A partir disso mostrar que: .
Vamos pensar com calma, beleza?
Vamos lembrar o que diz o teorema de Fubini:
Já o teorema de Clairaut:
Para resolve a letra (b), precisamos lembrar do teorema fundamental do cálculo, pois ele vai ser útil ao aplicar as derivas parciais na integral. Pelo teorema temos que:
Essa nomenclatura se refere a derivada parciais. Quer dizer que primeiro derivamos em e depois em .
Com essas informações podemos colocar mão na massa.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar pela letra (a).
O teorema de Fubini diz que a ordem de integração de uma função de duas variáveis não afeta o valor da integral dupla, enquanto o teorema de Clairaut diz que a ordem da diferenciação de uma função não afeta o valor da derivada de segunda ordem.
Além disso, ambos os teoremas requerem continuidade.
Passo 3
(b) Para encontrar , podemos considerar como constante e aplicar o teorema fundamental do cálculo para uma variável.
Primeiro derivando em :
Sabemos que:
Aplicando a derivada, temos:
Agora chegou o momento de aplicar o teorema fundamental do cálculo:
Aplicando, vamos ter:
Vamos respirar um pouco, e fazer com calma o restante.
Precisamos agora derivar em relação a .
E usando novamente o teorema fundamental do cálculo:
Conseguimos provar que:
Passo 4
Agora, para encontrar , nós primeiramente usamos o teorema de Fubini para escrever:
Vamos fazer analogamente ao que fizemos para encontrar , usando o teorema fundamental do cálculo duas vezes.
Primeiro derivando em :
Substituindo , vamos ter que:
Aplicando o teorema fundamental do cálculo, vamos ter:
Agora, derivamos em relação a . Ficamos com:
Aplicando novamente o teorema fundamental do cálculo, vamos ter:
Então, podemos concluir que:
Exatamente o que queríamos demonstrar.
Resposta
Demonstração.