(a) Em que aspectos os teoremas de Fubini e Clairaut são semelhantes?

(b) Se f x ,   y é contínua em a ,   b × c ,   d e

g x ,   y = ∫ a x ∫ c y f ( s ,   t )   d t   d s

para a < x < b   ,     c < y < d   , mostre que g x y = g y x = f x ,   y .

Passo 1

E aiii turma, beleza? Bora lá.

A questão solicita na letra (a) que mencionamos em quais aspectos os teoremas de Fubini e Clairaut são semelhantes.

Também forneceu uma função f ( x , y ) continua em a ,   b × c ,   d e uma integral dupla:

g x ,   y = ∫ a x ∫ c y f ( s ,   t )   d t   d s

para a < x < b   ,     c < y < d .

A partir disso mostrar que: g x y = g y x = f x ,   y .

Vamos pensar com calma, beleza?

Vamos lembrar o que diz o teorema de Fubini:

Já o teorema de Clairaut:

Para resolve a letra (b), precisamos lembrar do teorema fundamental do cálculo, pois ele vai ser útil ao aplicar as derivas parciais na integral. Pelo teorema temos que:

d d x ∫ a x f t d t = f ( x )

Essa nomenclatura g x y se refere a derivada parciais. Quer dizer que primeiro derivamos em x e depois em y .

Com essas informações podemos colocar mão na massa.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar pela letra (a).

O teorema de Fubini diz que a ordem de integração de uma função de duas variáveis não afeta o valor da integral dupla, enquanto o teorema de Clairaut diz que a ordem da diferenciação de uma função não afeta o valor da derivada de segunda ordem.

Além disso, ambos os teoremas requerem continuidade.

Passo 3

(b) Para encontrar g x y , podemos considerar y como constante e aplicar o teorema fundamental do cálculo para uma variável.

Primeiro derivando em x :

g x = d d x g x ,   y

Sabemos que:

g x ,   y = ∫ a x ∫ c y f ( s ,   t )   d t   d s

Aplicando a derivada, temos:

d d x ∫ a x ∫ c y f s ,   t   d t d s

Agora chegou o momento de aplicar o teorema fundamental do cálculo:

d d x ∫ a x f t d t = f ( x )

Aplicando, vamos ter:

∫ c y f ( x ,   t )   d t

Vamos respirar um pouco, e fazer com calma o restante.

Precisamos agora derivar em relação a y .

g x y = d d y ∫ c y f ( x ,   t )   d t

E usando novamente o teorema fundamental do cálculo:

g x y = d d y ∫ c y f ( x ,   t )   d t = f ( x ,   y )

Conseguimos provar que:

g x y = f ( x ,   y

Passo 4

Agora, para encontrar g y x , nós primeiramente usamos o teorema de Fubini para escrever:

∫ a x ∫ c y f ( s ,   t )   d t   d s = ∫ c y ∫ a x f ( s ,   t )   d s   d t

Vamos fazer analogamente ao que fizemos para encontrar g x y , usando o teorema fundamental do cálculo duas vezes.

Primeiro derivando em y :

g y = d d y g x ,   y

Substituindo g ( x , y ) , vamos ter que:

d d y ∫ c y ∫ a x f s ,   t   d s d t

Aplicando o teorema fundamental do cálculo, vamos ter:

∫ a x f ( s ,   y )   d s

Agora, derivamos em relação a x . Ficamos com:

g y x = d d x ∫ a x f s ,   y   d s

Aplicando novamente o teorema fundamental do cálculo, vamos ter:

g y x = f ( x ,   y )

Então, podemos concluir que:

g x y = g y x = f x ,   y

Exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

Demonstração.

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