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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.8 - Ex. 13

Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S .

F → = y 2 i → + x j → + z 2 k → , S é a parte do paraboloide z = x 2 + y 2 que está acima do plano z = 1 , orientado para cima.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos ver o que a questão quer!

Ela diz para a gente ver se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial

F → = y 2 i → + x j → + z 2 k →

Na região S que é a parte do paraboloide

z = x 2 + y 2

Que está acima do plano z = 1 , orientado para cima.

Vamos relembrar o Teorema de Stokes:

∫ C F → ⋅ d r → = ∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A

E vamos relembrar como se calcula o rotacional:

∇ × F → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z

∇ × F → = d F z d y - d F y d z i ^ + d F x d z - d F z d x j ^ + d F y d x - d F x d y k ^

Portanto, vamos ter que calcular as duas integrais, tanto a de linha quanto a dupla para verificar o teorema.

A primeira coisa que vamos fazer é calcular a integral de linha. Depois disso, vamos calcular a integral dupla com o rotacional e comparar os resultados.

Passo 2

A primeira coisa aqui a se fazer é determinar a fronteira da integral

∫ C F → ⋅ d r →

Como temos um paraboloide

z = x 2 + y 2

no plano z = 1

x 2 + y 2 = 1

Temos um círculo! E uma parametrização comum para um ele é:

x = r c o s t

y = r s e n t

z = z

Sabemos que o raio r = 1 e z = 1 , então:

r → t = c o s t i → + s e n t j → + k →

E o campo em função dessa nova parametrização fica:

F → = y 2 i → + x j → + z 2 k →

Substituindo as novas variáveis:

F → x t , y t , z t = s e n 2 t i → + c o s t j → +   k →

Passo 3

E o vetor d r → ? Ele é d   r → = r → ' t d t , então remos que calcular r → ' t :

r → t = c o s t i → + s e n t j → + k →

r → ' t = - s e n t i → + c o s t j → + 0 k →

E o produto escalar entre F → t ⋅ r → ' t é:

s e n 2 t , c o s t , 1   ⋅ - s e n t ,   c o s t ,   0 = - s e n 3 t + cos 2 ⁡ t

Como temos um círculo completo:

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 4

Legal! O próximo passo é colocar na integral!

∫ C F → ⋅ d r →

Substituindo:

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π - s e n 3 t + cos 2 ⁡ t   d t

Usando as relações trigonométricas:

s e n 2 t = 1 - cos 2 ⁡ t

cos 2 ⁡ t = 1 2 + 1 2 c o s ⁡ ( 2 t )

Substituindo teremos as seguintes integrais:

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π 1 2 d t + ∫ 0 2 π 1 2 c o s ⁡ ( 2 t ) d t - ∫ 0 2 π s e n ⁡ ( t ) d t + ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t ⁡ s e n t d t

As integrais que contém as funções seno e cosseno, por estarem integradas em um período completo, vão ser nulas. Assim só vai restar a primeira integral do lado direito da equação.

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π 1 2 d t

Resolvendo a integral

∫ 0 2 π 1 2 d t = 1 2 . 2 π

1 2 . 2 π = π

Portanto,

∫ C F → ⋅ d r → = π

Pronto! Agora vamos comparar com o outro lado do Teorema de Stokes.

Passo 5

A curva de fronteira, como vimos é um círculo de raio 1 .

Assim z = g x , y = x 2 + y 2 .

E o vetor normal a essa superfície vai ser

n → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1

n → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 = ( - 2 x , - 2 y , 1 )

Legal! O próximo passo é determinar a região de integração. A projeção no plano x y é um círculo de raio 1 . Em coordenadas polares temos

x = r c o s θ

y = r s e n θ

e os limites vão ser:

0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2 π

E o elemento de área vai ser: d A = r d r d θ

Passo 6

Legal! O próximo passo é determinar o rotacional de F → :

Temos F → é

F → = y 2 i → + x j → + z 2 k →

Aplicando o rotacional:

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z y 2 x z 2

∇ × F → = i → ∂ ∂ y ( z 2 ) - ∂ ∂ z ( x ) + j → ∂ ∂ z ( y ² ) - ∂ ∂ x ( z ² ) + k → ∂ ∂ x ( x ) - ∂ ∂ y ( y ² )

Calculando as derivadas parciais:

∇ × F → = 0,0 , 1 - 2 y

O produto escalar entre ∇ × F → e n → fica:

∇ × F → ⋅ n → = 0,0 , 1 - 2 y ⋅ - 2 x , - 2 y , 1

∇ × F → ⋅ n → = 1 - 2 y

Substituindo em coordenadas polares:

∇ × F → ⋅ n → = 1 - 2 r s e n θ

Passo 7

Agora é colocar tudo na integral

∬ S ∇ × F → ⋅ n ��� d A

Temos então

∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 - 2 r s e n θ r d r d θ

Aplicando a distributiva separando essas integrais:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 - 2 r s e n θ r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r d r d θ - ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r 2 s e n θ d r d θ

Resolvendo ambas integrais para r :

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r d r d θ - ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r 2 s e n θ d r d θ = ∫ 0 2 π r 2 2 0 1 d θ - ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r 3 3 0 1 s e n θ d r d θ

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 2 π r 2 2 0 1 d θ - ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r 3 3 0 1 s e n θ d r d θ = ∫ 0 2 π 1 2 d θ - 2 3 ∫ 0 2 π s e n θ d θ

Resolvendo para θ e lembrando que as integrais que contém as funções seno e cosseno, por estarem integradas em um período completo, vão ser nulas

∫ 0 2 π 1 2 d θ - 2 3 ∫ 0 2 π s e n θ d θ = 1 2 . 2 π - 0

Portanto,

1 2 . 2 π + 0 = π

Sendo assim, temos que

∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A = π

Agora comparando os resultados das integrais vemos que

∫ C F → ⋅ d r → = ∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A = π

Tá verificado! 😄

Resposta

∫ C F → ⋅ d r → = ∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A = π

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