Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.10 - Ex. 6

Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando, em cada caso, a orientação da curva .

Onde é a interseção do plano com o cilindro

Passo 1

Seguimos na nossa luta em entender o tal do Stokes. Vamos juntos matar mais um exercise!

Não tem escapatória, a gente precisa enxergar a tal curva; vamos ter que esboçar essa criatura:

Então a nossa curvinha é aquela em amarelo alí. Vamos retirar tudo que a gente não precisa e já vamos definir um sentido de orientação pra ela:

Então é sob essa curva que o exercício diz:

Serase mesmo?? Vamos comfirmar isso. Podemos utilizar Stokes:

Beleza? Só que se quisermos utilizar o teorema não podemos mais trabalhar sob a curva , agora a gente precisa definir uma superfície. Ela pode ser a seguinte:

Consegue notar a diferença?? Sim, a superfície tem um preenchimento ali, a curva passa a ser só a borda da nossa superfície.

Beleza, tendo isso em mente podemos encontrar os carinhas que precisamos para calcular a integral.

Passo 2

De praxe, vamos começar pelo rotacional; lembrando que:

Onde:

Só precisamos então encontrar essas derivadas parciais. Bora!

Oras bolas,

É isso mesmo produção? Parece que sim...

Passo 3

Então sem segredos:

E isso comfirma o que diz o enunciado:

É só correr pro abraço!

Resposta

Demonstrado:

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