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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.10 - Ex. 6

Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando, em cada caso, a orientação da curva C .

∮ C y + z d x + z + x d y + x + y d z = 0

Onde C é a interseção do plano y = z com o cilindro x 2 + y 2 = 2 y .

Passo 1

Seguimos na nossa luta em entender o tal do Stokes. Vamos juntos matar mais um exercise!

Não tem escapatória, a gente precisa enxergar a tal curva; vamos ter que esboçar essa criatura:

Então a nossa curvinha é aquela em amarelo alí. Vamos retirar tudo que a gente não precisa e já vamos definir um sentido de orientação pra ela:

Então é sob essa curva que o exercício diz:

∮ C F   d r = 0

Serase mesmo?? Vamos comfirmar isso. Podemos utilizar Stokes:

∮ C F   d r = ∬ S r o t F →   .     n →   d s

Beleza? Só que se quisermos utilizar o teorema não podemos mais trabalhar sob a curva C , agora a gente precisa definir uma superfície. Ela pode ser a seguinte:

Consegue notar a diferença?? Sim, a superfície tem um preenchimento ali, a curva C   passa a ser só a borda da nossa superfície.

Beleza, tendo isso em mente podemos encontrar os carinhas que precisamos para calcular a integral.

Passo 2

De praxe, vamos começar pelo rotacional; lembrando que:

r o t F → = ∇   x   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z   ;   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x     ;   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Onde:

F x , y , z = y + z ⏟ F 1   ; z + x ⏟ F 2   ; x + y ⏟ F 3

Só precisamos então encontrar essas derivadas parciais. Bora!

∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z = 1 - 1 = 0

∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x = 1 - 1 = 0

E

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1 - 1 = 0

Oras bolas,

r o t F → = 0   ; 0   ; 0

É isso mesmo produção? Parece que sim...

Passo 3

Então sem segredos:

∬ S r o t F →   .     n →   d s = 0

E isso comfirma o que diz o enunciado:

∮ C F   d r = ∬ S r o t F →   .     n →   d s = 0

É só correr pro abraço!

Resposta

Demonstrado:

∬ S r o t F →   .     n →   d s = 0

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