Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.10 - Ex. 2

Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando, em cada caso, a orientação da curva .

Onde é a curva obtida como interseção da esfera com o plano .

Passo 1

Eaaeee... mais uma questãozinha para aplicarmos Stokes. Vamos juntos!

Rotina já, tentar esboçar a esfera e o plano pra enxergar onde esta a curva:

Teremos algo parecido com isso. Vamos agora isolar a nossa queridinha curva:

Beleza! Essa é a cujo dita, tal que:

Para demonstrar se esse resultado aí é verdade ou não, vamos aplicar Stokes:

Só que o teorema não trabalha mais sob a curva, ele funciona sob uma superfície fechada, cuja borda seja a curva . Em outras palavras, uma das possibilidades de superfície é:

A diferença é sutíl.. mas é importante saber.

Superficie ta Ok; vamos atrás dos outros caras que tão dentro da integral. Bora!

Passo 2

Vamo começar com o rotacional. Lembrando que o nosso campo nesse exercício foi dado por:

E não podemos esquecer nunca que o rotacional é obtido assim:

Então tudo que precisamos fazer é encontrar essas derivadas parciais:

Portanto nosso rotacional será:

Tranquilo demais até aqui né?!

Agora a próxima criatura que devemos achar é o vetor normal. Repare que o vetor normal à nossa superfície nada mais é do que o vetor normal ao plano .

Vê se na imagem fica claro:

Repare que, além do vetor ser normal ao plano, tomamos a orientação da curva como sendo no sentido anti-horário. E definindo isso percebemos que o vetor normal está meio que apontado para a nossa esquerda.

OBS: Lembra como encontra isso? Com a mão direita coloca ela na tela; faz o sinal de “jóia” , com os outros 4 dedos você percorre a curva no sentido que definimos, ou seja, faça com que os seus dedos tentem entrar na tela. Percebeu que seu dedão ta apontando pra esquerda e um bocado inclinado? É o sentido do nosso vetor.

Então tá, ele é mesmo normal ao plano. Agora você lembra que num plano genérico qualquer:

O vetor normal à ele será: .

Portanto trazendo isso pro nosso pobleminha:

Então já temos o seguinte:

Passo 3

No final das contas sobrou pra gente encontrar aquela integralzinha ali. Repare que ela representa a area de uma curva:

Portanto, devemos projetar a nossa superfície no plano. Optando pelo plano , teremos o seguinte:

Pegou a ideia?? Então no final das contas o que queremos é a area dessa elipse.

Mas vamos quem é essa elipse?? Precisamos saber a forma matemática dela; basta então tomar a interseção, olha só:

Como escolhemos o plano temos que definir ela somente em termos desses caras:

Dividindo por 2:

Temos que fazer isso nos lembrar a equação de uma elipse, certo? Uma das forma é somando o termo em ambos os lados da igualdade:

Repare que:

Então:

E como na equação da elipse sempre deixamos o após o igual:

Agora, lembra que a area de uma elipse é quase igual a de uma circunferência, com o detalhe de que na elipse temos “dois” raios (nunca diga isso pro seu professor; acho que ele não vai curtir muito. Mas é uma boa forma de lembrar)

Então: