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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.4 - Ex. 9d

Sejam u → , v → : Ω ⊂ R 3 → R 3     dois campos vetoriais e φ : Ω → R um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre φ ,   u → ,   v → e prove. (suponha u → = P i → + Q j → + R k →   e   v → = P 1 i → + Q 1 j → + R 1 k → ):

d) r o t   φ u → = φ   r o t   u → + ∇ φ ∧ u →

Passo 1

Estamos supondo u → = P i → + Q j → + R k →   e   v → = P 1 i → + Q 1 j → + R 1 k → e vamos partir da hipótese de que as componentes e φ admitam derivadas parciais.

Vamos montar o rotacional da função φ u → :

i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z φ P φ Q φ R = ∂ φ R ∂ y - ∂ φ Q ∂ y i → + ∂ φ P ∂ z - ∂ φ R ∂ x j → + ∂ φ Q ∂ x - ∂ φ P ∂ y k →

E aí pela regra da cadeia isso equivale a...

φ ∂ R ∂ y + ∂ φ ∂ y R - φ ∂ Q ∂ z - ∂ φ ∂ z i → + φ ∂ P ∂ z + ∂ φ ∂ z P - φ ∂ R ∂ x - ∂ φ ∂ x j → + φ ∂ Q ∂ x + ∂ φ ∂ x Q - φ ∂ P ∂ y - ∂ φ ∂ y P k →

Passo 2

Vamos reagrupar isso...

φ ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i → + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j → + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k → + ∂ φ ∂ y R - φ ∂ Q ∂ z i → + ∂ φ ∂ z P - ∂ φ ∂ x j → + ∂ φ ∂ x Q - ∂ φ ∂ y P k →

E isso é o equivalente a:

φ i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R + i → j → k → ∂ φ ∂ x ∂ φ ∂ y ∂ φ ∂ z P Q R

E isso é:

φ   r o t   u → + ∇ φ ∧ u →

E pronto!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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