Calcule

Onde é a curva . (Dica: observe que está na superfície )

Primeiramente, pessoal, vamos encontrar a equação de . O enunciado nos deu a integral:

Como cada termo é uma componente da função campo, temos:

Agora podemos calcular o rotacional desse campo, pela equação do rotacional:

Sabendo que

Portanto,

Substituindo na equação:

Resolvendo as derivadas parciais, temos:

Pronto! Temos nosso rotacional.

Se a superfície é da forma e é orientada para cima, podemos usar a fórmula:

O enunciado nos deu a equação da superfície :

Vamos nos atentar porque aqui , e são componentes do nosso rotacional:

Retomando nosso rotacional:

Assim, temos as componentes:

Calculamos também as derivadas parciais da equação:

• Derivada em :
• Derivada em :

Agora podemos substituir na nossa equação:

Fazendo a soma e multiplicação dos termos:

Substituindo

Ficamos com:

Multiplicando os termos:

Veja que já temos nossa integral pronta, faltando só os limites de integração da região pra gente partir pro cálculo dela:

é a projeção da superfície , no plano . Pela parametrização dada no enunciado:

Temos:

No plano, temos , então temos:

Portanto, é a região dentro da circunferência

Com .

Podemos definir como . Como temos uma circunferência completa de raio , temos os limites de integração:

Usando as relações:

E:

Nossa integral que até então é:

Se torna:

Então, vamos finalmente resolver nossa integral:

Multiplicando o do nosso Jacobiano para dentro dos parênteses:

Integramos primeiro em , que é a integral de dentro, tratando como constante:

Aplicando os limites de integração em :

É muita conta, não? Mas tá acabando!

Resolvendo a última integram em da equação acima, temos:

Somando os termos:

Para encontrarmos os valores dessa integral, vamos calcular pela substituição de variáveis! Seja

Derivando :

Os limites de integração mudam de para . Por fim, temos a integral de .

Como a integral em tem limites de integração iguais, o intervalo de integração é nulo e seu valor será zero!