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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 68

Se você não souber qual substituição fazer, tente reduzir a integral passo a passo, usando uma primeira substituição para simplificar um pouco a integral e depois outra para simplificar um pouco mais. Você perceberá o que queremos dizer se experimentar as sequências de substituições nos Exercícios 67 e 68.

∫ 1 + sin 2 ⁡ x - 1 sin ⁡ x - 1 cos ⁡ x - 1 d x

  1. u = x - 1 , seguido por v = sin ⁡ u , então por w = 1 + v 2
  2. u = sin ⁡ x - 1 , seguido por v = 1 + u 2
  3. u = 1 + sin 2 ⁡ x - 1

Passo 1

Vamos começar fazendo a primeira substituição proposta na letra a.):

u = x - 1

Derivando dos dois lados:

d u = d x

Substituindo na integral:

∫ 1 + sin 2 ⁡ x - 1 sin ⁡ x - 1 cos ⁡ x - 1 d x = ∫ 1 + sin 2 ⁡ u sin ⁡ u cos ⁡ u d u

Agora, vamos a próxima substituição sugerida,

v = sin ⁡ u

Derivando dos dois lados,

d v = cos ⁡ u d u

Colocando na integral,

∫ 1 + sin 2 ⁡ u sin ⁡ u cos ⁡ u d u = ∫ 1 + v 2 v d v

Por fim, faremos a última substituição:

w = 1 + v 2

Derivando dos dois lados:

d w = 0 + 2 v d v

d w 2 = v d v

Calculando a integral:

∫ 1 + v 2 v d v = ∫ w ∙ d w 2 = 1 2 w 3 2 3 2 = w 3 2 3

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

w 3 2 3 = 1 + v 2 3 2 3 = 1 + sin 2 ⁡ u 3 2 3 = 1 + sin 2 ⁡ x - 1 3 2 3 + C

Passo 2

Fazendo a primeira substituição pedida na letra b.):

u = sin ⁡ x - 1

Derivando dos dois lados:

d u = cos ⁡ x - 1 x - 1 ' d x = cos ⁡ x - 1 d x

Substituindo na integral:

∫ 1 + sin 2 ⁡ x - 1 sin ⁡ x - 1 cos ⁡ x - 1 d x = ∫ 1 + u 2 u d u

Por fim, faremos a última substituição:

v = 1 + u 2

Derivando dos dois lados:

d v = 0 + 2 u d u = 2 u d u

d v 2 = u d u

Resolvendo a integral na integral:

∫ 1 + u 2 u d u = ∫ v ∙ d v 2 = 1 2 v 3 2 3 2 = v 3 2 3

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

v 3 2 3 = 1 + u 2 3 2 3 = 1 + sin 2 ⁡ x - 1 3 2 3 + C

Passo 3

Utilizando a única mudança de variável vista na letra c.):

u = 1 + sin 2 ⁡ x - 1

Derivando dos dois lados utilizando a regra da derivada dos produtos:

d u = 0 + sin ⁡ x - 1 sin ⁡ x - 1 ' d x = cos ⁡ x - 1 sin ⁡ x - 1 + cos ⁡ x - 1 sin ⁡ x - 1

d u = 2 sin ⁡ x - 1 cos ⁡ x - 1

d u 2 = sin ⁡ x - 1 cos ⁡ x - 1

Resolvendo a integral:

∫ 1 + sin 2 ⁡ x - 1 sin ⁡ x - 1 cos ⁡ x - 1 d x = ∫ u ∙ d u 2 = 1 2 u 3 2 3 / 2

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

u 3 2 3 = 1 + sin 2 ⁡ x - 1 3 2 3 + C

Protinho!!!

Resposta

  1. 1 + sin 2 ⁡ x - 1 3 2 3 + C
  2. 1 + sin 2 ⁡ x - 1 3 2 3 + C
  3. 1 + sin 2 ⁡ x - 1 3 2 3 + C
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