Resolve a integral abaixo:

42 –

∫ 3 sec 4 ⁡ ( 3 x )     d x

Passo 1

∫ 3 sec 4 ⁡ ( 3 x )     d x

3 ∫ sec 4 ⁡ 3 x d x

Expandindo a integral:

3 ∫ sec 2 ⁡ 3 x sec 2 ⁡ 3 x d x

Dado: sec 2 ⁡ ( 3 x ) = 1 + t g 2 ( 3 x )

3 ∫ 1 + t g 2 ( 3 x ) sec 2 ⁡ ( 3 x )   d x

Passo 2

Utilizando o método de substituição udu:

u = t g   3 x

d u = 3 sec 2 ⁡ ( 3 x )

d x = 1 d u = 1 3 sec 2 ⁡ ( 3 x )

3 ∫ 1 + u 2 sec 2 θ ⁡ ⋅ 1 3 sec 2 ⁡ θ   d u = 3 3 ∫ 1 + u 2 d u =   ∫ 1 + u 2 d u

Passo 3

Resolvendo a integral:

∫ 1 + u 2 d u

u + u 3 3 + c

Substituindo dado: u = t g   ( 3 x )

t g   ( 3 x ) + t g 3 ( 3 x ) 3 + c

Resposta

t g   ( 3 x ) + t g 3 ( 3 x ) 3 + c

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