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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 45

Resolve a integral abaixo:

45 –

int 4 tg^3 x

Passo 1

4 int t g^3 x d x

Expandindo a integral:

4 int t g^2 x t g x

Dado: t g^2 x = - 1 + sec^2 x

4 int ( - 1 + sec^2 x ) t g x d x = 4 int - t g x + sec^2 x t g x d x

Separando a integral:

4 int - t g x d x + 4 int sec^2 x t g x d x

- 4 int t g x d x + 4 int sec^2 x t g x d x

Passo 2

Resolvendo:

int t g x = - ln (|cos (x)|)

- 4 * (- ln (|cos (x)|)) + 4 int sec^2 x t g x x

Resolvendo a integral:

int sec^2 x t g x x

Utilizando o método de substituição udu:

u = sec^2 x

d u = 2 sec^2 x t g x

d x = (1)/(d u) = (1)/(2 sec^2 x t g x)

int sec^2 x * t g x * (1)/(2 sec^2 x t g x) d u = int (sec^2 x t g x)/(2 sec^2 x t g x) d u = int (1)/(2) d u = (1)/(2) u + c

Subsittuindo na expressão:

- 4 * (- ln (|cos (x)|)) + 4 * ((1)/(2) u)

Para u = sec^2 x

- 4 * (- ln (|cos (x)|)) + 4 * ((1)/(2) sec^2 x) + c

Passo 3

Desta forma teremos:

(4 ln (|cos (x)|)) + ((4)/(2) sec^2 x) + c = 2 sec^2 x + 4 ln (|cos ( x )|) + c

Resposta

(1)/(5) t g^5 x + (2)/(3) t g^3 x + t g x + c

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