Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Acima do cone z = raiz(x^2 + y^2) e abaixo da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1

Passo 1

Beleza, galera?

O comando aqui é simples: calcular o volume de um sólido.

E o enunciado nos diz explicitamente que é o sólido que fica acima do cone:

z = x 2 + y 2

E abaixo da esfera:

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Vamos começar olhando pra cara disso, pra gente já sair do matematiquês e conseguir ver algo acontecendo:

Agora vamos relembrar da nossa teoria... você se lembra que lá em cálculo 1, a gente viu que a área entre duas curvas é a integral da curva de cima menos a curva de baixo?

Pois a gente consegue extrapolar isso aqui pra volumes e integrais duplas. No caso, o volume entre duas superfícieis vai ser a integral dupla da superfície de cima menos a superfície de baixo... Mas se ficou confuso, agora vou ser mais específica.

Seja um sólido abaixo da superfícia z 1 = f x , y e acima de outra superfície z 2 = g x , y , então o seu volume será:

V = ∬ D z 1 - z 2 d A

Então o intervalo de baixo pra cima, ou em z , ta representado aqui no nosso integrando z 1 - z 2 . E lateralmente, os intervalos pra x e y formam a região D e vão aparecer nos nossos limites de integração.

Mas o enunciado não fala nada sobre isso, e agora?

Bem, se ele não fala nada, então os limites vão ser dados pela interseção das superfícies (o cone e a esfera). Então é só fazer:

z 1 = z 2

Então precisamos:

  • Definir os limites de integração, fazendo z 1 = z 2 ;
  • Definir o integrando z 1 - z 2 ;
  • Converter pra coordenads polares;
  • Calcular a integral.

Aaaah já tava esquecendo da mudança de coordenadas neeeee... Pois pra você respirar, vou falar disso no passo 2.

Passo 2

O enunciado nos dá uma orientação específica: usar coordenadas polares. Então antes de qualquer coisas, vamos relembrar as relações entre as coordenadas cartesianas e polares:

x = r c o s   θ

y = r   s e n   θ

z = z

r 2 = x 2 + y 2

Mas não é só isso e aqui que mora o erro!!! O diferencial da área também vai ter um fatorzinho de conversão, que você não pode esquecer.

Em coorenadas cartesianas, como já vimos no passo 1, a integral vai ficar assim:

V = ∬ D z 1 - z 2 d A

V = ∬ D f x , y - g ( x , y ) d x d y

Quando convertemos pra coordenadas polares, vai aparecer um termo extra ali dentro do integrando e fica desse jeito aqui:

V = ∬ D f r , θ - g ( r , θ ) r d r d θ

A regiaõ D é a mesma, assim como as superfícies f e g . Mas tudo aqui estará descrito em função de r e θ , nossas coordenadas polares.

Passo 3

Agora vamos definir quais vão ser os limites de integração e, pra isso, vamos igualar os valores de z das duas superfícies dadas pelo enunciado:

z = x 2 + y 2

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Reescrevendo a equação da esfera:

z = 1 - x 2 - y 2

Igualando:

1 - x 2 - y 2 = x 2 + y 2

1 - x 2 - y 2 = x 2 + y 2

1 = 2 x 2 + y 2

x 2 + y 2 = 1 2

E essa é a equação de uma circunferência de raio 1 / 2 .

Agora a gente pode prosseguir com a análise em coordenadas cartesianas pra fazer a conversão pra coordenadas polares. Mas vamos ser mais espertos do que isso, porque a gente já tem o termo x 2 + y 2 perfetinho pra converter.

Da coordenadas cartesianas pra polares, temos r 2 = x 2 + y 2 , então nossa relação fica:

r 2 = 1 2

r = 1 2

E como a coordenada r nunca é negativa, porque ela representa o raio, já temos seu intervalo:

0 ≤ r ≤ 1 2

E o intervalo em θ ? Qual vai ser?

Nenhuma restrição foi mencionada. Tanto o cone quanto a esfera fazem a volta completa, então:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Pronto, temos nossos limites de integração. E só pra você sacar bem das nomenclaturas, a região de integração D é o círculo de raio 1 2 .

PS. Se você tiver pensando “nossa, muito mais fácil que usar as coordenadas cartesianas”. Sim, mas não é a toa que o enunciado nos pediu pra converter. A gente precisa, pelo menos tentar, usar o sistema de coordenads mais conveniente, que torna o nosso cálculo mais simples.

Passo 4

Agora vamos determinar a função a ser integrada:

f r ,   θ = z 1 - z 2

Sempre vai ser a curva “de cima” menos a curva “de baixo”, então é a esfera menos o cone:

z 1 = 1 - x 2 - y 2

z 2 = x 2 + y 2

z 1 - z 2 = 1 - x 2 - y 2 - x 2 + y 2

Convertendo pra coordenadas polares:

r 2 = x 2 + y 2

z 1 - z 2 = 1 - r 2 - r 2

z 1 - z 2 = 1 - r 2 - r

Novamente, ficou bem mais simples... nenhuma surpresa! É pra isso mesmo que estamos convertendo.

Logo, nossa integral vai ficar assim:

V = ∬ D f r , θ - g ( r , θ ) r d r d θ

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 / 2   ( 1 - r 2 - r )   r   d r   d θ

FINALMENTEEEEEEEE!

Conseguimos representar nosso volume como uma integral. Agora vamos integrar. Juro pra você que falta pouco! (mas só falta pouco porque convertemos pra polares, aí o cálculo é fácil)

Passo 5

Vamos lá:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 / 2   ( 1 - r 2 - r )   r   d r   d θ

Como as nossas variáveis aqui são bem independentes (os limites de integração são constantes e não funções), então nós podemos separar a integral dupla no produto de duas integrais simples, calculando cada termo com seu integrando, respectivamente:

V =   ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 2 r 1 - r 2 - r 2 d r

Resolvendo em θ :

∫ 0 2 π d θ = θ 0 2 π = 2 π

Pra resolver em r , vamos primeiro separar essa subtração:

∫ 0 1 2 r 1 - r 2 - r 2 d r = ∫ 0 1 2 r 1 - r 2 d r - ∫ 0 1 2 r 2 d r

O segundo termo é moleza:

∫ r 2 d r = r 3 3

E no primeiro termo vai ter que rolar uma substituiçãozinha. Vamos fazer u = 1 - r 2 e, logo, d u = - 2 r d r :

∫ r 1 - r 2 d r = - 1 2 ∫ u d u = - 1 2 2 3 u 3 2

∫ r 1 - r 2 d r = - 1 3 1 - r 2 3 2

Somando os dois resultados, vamos ter a integral em r :

∫ 0 1 2 r 1 - r 2 d r - ∫ 0 1 2 r 2 d r = - 1 3 1 - r 2 3 2 - r 3 3   0 1 2

= - 1 3 1 - 1 2 3 2 - 1 2 2 3 - - 1 3

= - 1 3 1 2 2 - 1 2 2 3 + 1 3

= - 1 6 2 - 1 3 2 + 1 3

∫ 0 1 2 r 1 - r 2 d r - ∫ 0 1 2 r 2 d r = 1 3 - 1 3 2

Agora lembra que a gente tinha separado o volume no produto da integral de r e θ ? Pois então vamos multiplicar os resultados:

V =   ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 2 r 1 - r 2 - r 2 d r

V = 2 π 1 3 - 1 3 2

V = 2 π 3 1 - 1 2

E finalmente temos nossa resposta!!! Ufa! Agora vai beber uma água antes de partir pro próximo exercício.

Resposta

2 π 3 1 - 1 2

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