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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.4 - Ex. 25

Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1

Passo 1

Beleza, galera?

Precisamos descobrir, segundo o que pede a questão, o volume do sólido que está acima do cone:

z = x 2 + y 2

E abaixo da esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Colocando no software, chegaremos a esse gráfico aqui:

Precisamos, principalmente, usar as coordenadas polares, como pede o enunciado, pra calcular o volume. Vamos descobrir os limites de integração e a integral dupla para resolver.

Vamos relembrar algumas fórmulas para polares, show?

x = r c o s   θ

y = r   s e n   θ

z = z

r 2 = x 2 + y 2

Passo 2

Pra descobrir quais vão ser os limites de integração em r da integral que representa o volume, vamos igualar os valores de z das duas superfícies dadas pelo enunciado:

z 2 = x 2 + y 2

z 2 = 1 - x 2 - y 2

r 2 = 1 - r 2

2 r 2 = 1

r = 1 2

Então teremos

0 ≤ r ≤ 1 2

Agora vamos determinar a função a ser integrada:

f r ,   θ = 1 - r 2 - r

Logo, nossa integral vai ficar assim:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 / 2   ( 1 - r 2 - r )   r   d r   d θ

Passo 3

Podemos separar a integral no produto de duas integrais simples, calculando cada termo com seu integrando, respectivamente:

V =   ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 2 r 1 - r 2 - r 2 d r

θ 0 2 π - 1 - r 2 3 2 3 - r 3 3 0 1 2

Substituindo os limites de integração, chegaremos a

2 π ⋅ 1 3 - 1 - 1 2 3 2 - 1 2 2 + 1 - 0 3 2 + 0

2 π 3 - 1 2 + 1 = 2 π 3 1 - 1 2

Resposta

2 π 3 1 - 1 2

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Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 e fora do cilindro x 2 + y 2 = 4 .
19. Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido. Abaixo do cone z = x 2 + y 2 e acima do disco x 2 + y 2 ≤ 4 .
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Delimitado pelo hiperboloide - x 2 - y 2 + z 2 = 1 e pelo plano z = 2 .
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido.Abaixo do paraboloide z = 18 - 2 x 2 - 2 y 2 e acima do plano x y .