Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 1 - x - y   d y   d x

Passo 1

Faala, pessoal!

Essa questão da uma integral:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 1 - x - y   d y   d x

E pede pra esboçar o sólido que esse integral representa seu volume.

Vamos lembrar que o volume da região abaixo do gráfico da função z = f x , y em um domínio D é dado por:

∬ D f x , y d A

Então o que a gente vai fazer é descobrir quem é esse D e esse f , e desenhar!

Passo 2

Vamos identificar primeiro o domínio no plano x y . Observe que x varia entre 0 e 1 enquanto y varia entre 0 e 1 - x . Assim, o domínio de integração é representado por

Essa é a região D !

Passo 3

A função que está na integral é:

f x , y = 1 - x - y

Ela representa a superfície:

z = 1 - x - y

⇒ x + y + z = 1

Com isso, o sólido será a região abaixo dessa superfície sobre a região D (no plano x y ).

Agora temos que olhar para o a superfície x + y + z = 1 ,   que é um plano.

Quando x = y = 0 (eixo z ), temos z = 1 . Além disso quando z = 0 , temos y = 1 - x , ou seja, esse plano corta o plano x y exatamente na reta y = 1 - x .

Vamos desenhar esse plano, no domínio D :

Em verde, temos o plano x + y + z = 1 , e em laranja o domínio D , no plano x y .

O nosso sólido vai ser a região entre as superfícies verde e laranja:

E esse é o nosso sólido!

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados