Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 49

O volume de água num tanque é V m 3 quando a profundidade da água é h m. Se a taxa de variação V em relação a h for π 4 h 2 + 12 h + 9 , ache o volume de água no tanque quando a profundidade for de 3m.

Passo 1

Taxa de variação a gente sempre liga a derivadas né galera? Então ele nos já deu que a taxa de variação V em relação a h é igual a:

V ' h = π 4 h 2 + 12 h + 9

Portanto, basta integrarmos isso para acharmos a nossa função V ' ( h ) .

Passo 2

Integrando nossa função, temos que:

V ' h = π 4 h 2 + 12 h + 9

V h = ∫ V ' ( h )

V h = ∫ π 4 h 2 + 12 h + 9   d h

V h =   9 h π + 6 h 2 π + 4 h 3 π 3 + k

Passo 3

Esse k é bem simples de achar, só precisamos achar uma condição de V(h) conhecida. Ora, se o nosso volume é igual a 0, então nossa altura também é 0. Portanto, V 0 = 0 .

V h =   9 h π + 6 h 2 π + 4 h 3 π 3 + k

V 0 =   9 * 0 * π + 6 * 0 2 * π + 4 * 0 3 * π 3 + k

0 =   9 * 0 * π + 6 * 0 2 * π + 4 * 0 3 * π 3 + k

0 = k

Passo 4

Portanto, nossa função é dada por:

V h =   9 h π + 6 h 2 π + 4 h 3 π 3

Para a profundidade de h = 3 m :

V h =   9 h π + 6 h 2 π + 4 h 3 π 3

V 3 =   9 * 3 * π + 6 * 3 2 * π + 4 * 3 3 * π 3

V 3 = 117 π

Resposta

V 3 = 117 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral indefinida ∫ x 3 + x x 4 + 2 x 2 7 d x
Calcule a integral indefinida ∫ s 2 s + 3 d s
Calcule a integral indefinida ∫ x 3 + 2 x ³x - 1 x 2 d x ³
Calcule a integral indefinida ∫ 3 x + 1 5 x d x
Calcule a integral indefinida ∫ 7 w + 3 3d w