Enunciado

Calcule a integral indefinida

int root(3)(7 w + 3) d w

Passo 1

Primeira coisa que temos que fazer ver como podemos facilitar nossa vida. Como podemos ajeitar as contas para ficar de um jeito que se bater o olho já sabemos como será o resultado. Eu gosto sempre deixar as contas em notação cientifica, isso facilita muito porque podemos usar aquele truque de derivada básico

(d)/(d x) x^n = n x^(n - 1)

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Passo 2

Nosso caso temos que

int root(3)(7 w + 3) d w

Vamos só dar aquele ajeitada básica, e ver se conseguimos melhorar alguma coisa.

int root(3)(7 w + 3) d w -> int (7 w + 3)^(1 // 3) d w

Ainda está estranho né? Vamos fazer o seguinte então. Vamos fazer uma substituição

u = 7 w + 3

d u = 7 d w

int (7 w + 3)^(1 // 3) d w -> int (u^(1 // 3))/(7) d u

Ahhh olha só a cara disso! Muito melhor! Isso nós conseguimos integrar.

int (u^(1 // 3))/(7) d u -> (1)/(7) * (3)/(4) u^(4 // 3)

Agora só precisamos voltar com nossa substituição para W

(3)/(28) (7 w + 3)^(4 // 3)

E não esqueça, estamos fazendo integrais indefinidas. Então temos que acrescentar uma constante no final da integração.

int root(3)(7 w + 3) d w -> (3)/(28) (7 w + 3)^(4 // 3) + C

Prontinho, terminamos por aqui, vou te acompanhar pelos próximos exercícios. Não perde o ritmo, vê se consegue matar vários exercícios de uma tacada só : )

Resposta

int root(3)(7 w + 3) d w -> (3)/(28) (7 w + 3)^(4 // 3) + C

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