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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 6

Determine a altura do cone circular reto, de volume máximo, inscrito na esfera de raio R dado.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa questão vamos lembrar da geometria espacial.

A relação para um cone circular reto de raio r e altura h , inscrito numa esfera de raio R , é dada pela seguinte equação:

R 2 = r 2 + h - R 2

Ajeitando essa função ficamos com,

R 2 = r 2 + h 2 - 2 h R + R 2

r 2 = 2 h R - h 2

Já a função y do volume do cone tem essa cara aqui:

y r , h = 1 3 π r 2 h

Substituindo r 2 que encontramos da relação do cone circular, ficamos com

y h = π 3 2 h R - h 2 h

Ajeitando a função,

y h = 2 π 3 R h 2 - π 3 h 3

Agora vamos otimizar para achar o volume máximo!

Passo 2

Como queremos que o volume seja máximo, temos que obter o máximo global da função y h .

Então, primeiro derivamos e igualamos a 0 , lembrando que R é uma constante dada:

y ' h = 4 π 3 R h - π h 2

Igualando a zero,

4 π 3 R h - π h 2 = 0

h = 4 R 3

Note que lim h → 0 + ⁡ y h = 0 e lim h → + ∞ ⁡ y h = - ∞ , onde h → 0 + e h → + ∞ seriam os “extremos” do domínio da função.

Logo, o volume é realmente máximo para h = 4 R 3 .

Resposta

h = 4 R 3

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