Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 17
Se o wronskiano de e é e se , encontre .
Passo 1
As informações que temos é o wronskiano e a função , podemos usar elas duas para escrevermos uma equação diferencial de . Começamos pela definição do wronskiano e do valor dado pelo enunciado:
Calculamos o determinante:
E substituímos e sua derivada:
Passo 2
Como a equação não está na forma padrão, vamos dividir tudo por :
Podemos ver que é uma equação diferencial não homogênea, vamos resolver primeiro a homogênea:
Dá para perceber que a função exponencial é uma solução possível para o problema, para fazermos aparecer o 2, basta colocarmos ele no expoente da exponencial, que ai quando derivarmos ele vai cair:
A constante é arbitraria, e aparece por conta do grau de liberdade da equação, repare que qualquer valor que colocarmos nela, vai continuar satisfazendo a equação.
Passo 3
A não homogênea nesse caso é mais fácil, basta somarmos o termo do lado direito dela na nossa solução:
Dessa maneira ela já satisfaz a equação e vai ser a nossa .