Se o wronskiano de e é e se , encontre .
Passo 1
As informações que temos é o wronskiano e a função , podemos usar elas duas para escrevermos uma equação diferencial de . Começamos pela definição do wronskiano e do valor dado pelo enunciado:
Calculamos o determinante:
E substituímos e sua derivada:
Passo 2
Como a equação não está na forma padrão, vamos dividir tudo por :
Podemos ver que é uma equação diferencial não homogênea, vamos resolver primeiro a homogênea:
Dá para perceber que a função exponencial é uma solução possível para o problema, para fazermos aparecer o 2, basta colocarmos ele no expoente da exponencial, que ai quando derivarmos ele vai cair:
A constante é arbitraria, e aparece por conta do grau de liberdade da equação, repare que qualquer valor que colocarmos nela, vai continuar satisfazendo a equação.
Agora vamos encontrar a solução particular da não homogênea!
Passo 3
Como já está na equação homogênea, usamos o método do coeficiente indeterminado com variação de parâmetros:
Da equação do passo anterior, temos que:
Assim, substituindo :
Assim, vemos que
Logo, a solução particular é:
A não homogênea nesse caso é mais fácil, basta somarmos o termo do lado direito dela na nossa solução:
Dessa maneira ela já satisfaz a equação e vai ser a nossa .