Se o wronskiano W de f e g é 3 \* e^(4t) e se f(t) = e^(2t) , encontre g(t) .

Passo 1

As informações que temos é o wronskiano e a função f , podemos usar elas duas para escrevermos uma equação diferencial de g ( t ) . Começamos pela definição do wronskiano e do valor dado pelo enunciado:

W f ,   g = d e t f g f ' g ' = 3 e 4 t

Calculamos o determinante:

W f , g = f g ' - g f ' = 3 e 4 t

E substituímos f t e sua derivada:

e 2 t g ' - 2 g e 2 t = 3 e 4 t

Passo 2

Como a equação não está na forma padrão, vamos dividir tudo por e 2 t :

g ' - 2 g = 3 e 2 t

Podemos ver que é uma equação diferencial não homogênea, vamos resolver primeiro a homogênea:

g ' - 2 g = 0

Dá para perceber que a função exponencial é uma solução possível para o problema, para fazermos aparecer o 2, basta colocarmos ele no expoente da exponencial, que ai quando derivarmos ele vai cair:

g t = c 1 e 2 t

A constante c 1 é arbitraria, e aparece por conta do grau de liberdade da equação, repare que qualquer valor que colocarmos nela, vai continuar satisfazendo a equação.

Agora vamos encontrar a solução particular da não homogênea!

Passo 3

Como 3 e 2 t já está na equação homogênea, usamos o método do coeficiente indeterminado com variação de parâmetros:

g p t = A t e 2 t

Da equação do passo anterior, temos que:

g ' - 2 g = 3 e 2 t

Assim, substituindo g :

d d t A t e 2 t - 2 A t e 2 t = 3 e 2 t ∴

A e 2 t + 2 A t e 2 t - 2 A t e 2 t = 3 e 2 t ∴

A e 2 t = 3 e 2 t

Assim, vemos que

A = 3

Logo, a solução particular é:

g p t = 3 t e 2 t

A não homogênea nesse caso é mais fácil, basta somarmos o termo do lado direito dela na nossa solução:

g t = c 1 e 2 t + 3 t e 2 t

Dessa maneira ela já satisfaz a equação e vai ser a nossa g ( t ) .

Resposta

g t = c 1 e 2 t + 3 t e 2 t

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