Conjuntos Numéricos
Teoria
FAAAAAALA AÍ!!! Amorzinho, agora que tu tá quase o próprio conjunto, eu vou te mostrar/relembrar alguns conjuntos muito tops que sempre aparecem e vão sempre aparecer em todos os seus cálculos: OS CONJUNTOS NUMÉRICOS!
Sem mais delongas, vamos a eles!
Conjunto dos Números Naturais
Cara, esse conjunto é o primeiro conjunto que você aprende na sua vida!!! Isso mesmo, você sem saber o aprende quando é uma criancinha, quando começa a contar os objetos e tal. Se liga:
O conjunto dos números Naturais é denotado por e se tu ainda não pegou qual a características dos elementos, eu te digo: são números maiores ou iguais a zero (chamamos isso de não-negativos) e são números inteiros!
Como isso aparece pra você? Você vai começar a ver conjuntos escritos dessa forma:
Daqui a pouquinho você verá que esses conjuntos são iguais! Segura aí hahaha
Só mais um comentário, há várias conversas sobre o pertencer ou não ao conjunto dos naturais.
Aqui consideraremos o como um elemento do conjunto, mas pergunte ao seu professor o que ele considera!
Conjunto dos Números Inteiros
Pois é, as coisas estavam indo muito bem, até que surgiram os números negativos!
“Pra que que isso surgiu?”
Cara, pensa assim: você imagina que tem 50 reais e quer comprar um livro de Cálculo que custa 120 reais... Quando vamos comprar alguma coisa, sempre pensamos com quanto dinheiro ficaremos, então fazemos a conta “o que tenho” “quanto vou gastar”.
Nesse caso, como que fica essa conta se o quanto você tem é menor do que quanto você irá gastar? Complicado, né? Então vamos criar números pra isso!!! Daí, temos o conjunto dos números inteiros:
Sacou? São “númeroZinteiros” hahaha Podem ser negativos, neutro ou positivos e você os verá tipo assim:
Perceba que , já que todos os elementos de pertencem ao conjunto
Conjunto dos Números Racionais
Show, agora esse cara chegou pra nos ajudar a fazer certas coisas! Por exemplo, eu gostaria de dividir meu sorvete com você, mas só tenho bola.
Eu gostaria que fosse impossível de dividir (daí eu ficaria com tudo hahaha), mas quando os racionais foram criados, essa divisão foi permitida.
A característica dos números que pertencem a esse conjunto é:
Então o conjunto pode ser escrito da seguinte forma:
Viu só a notação nova? *rycos*
Podemos juntar essas notações:
No geral, as frações são números racionais. Lembre-se de que dizima periódica é um número racional, pois podemos passa-la para o formato de fração. Exemplos:
O queeeee? Como assim é racional?!
Claro que é! Todo número inteiro é racional. Olha só:
A gente sempre pode escrever daquele jeito, então pronto!
Conjunto dos Números Irracionais
Agora essa! O que raios são os irracionais??? Cara, veja bem, o que vimos até agora foi que pra ser racional, é necessário que o número possa ser escrito na forma , onde e são inteiros e diferente de zero. Ok.
Aí eu te pergunto: E se a gente não puder escrever o número daquela forma? Quero dizer, deve existir algum número que a gente não consegue escrever desse jeito. E realmente existe! São os chamados números irracionais! Alguns exemplos:
No geral, dizimas não periódicas são números irracionais. Olha uns exemplos:
Perceba que esse número tem infinitas casas decimais e não tem um período nelas, então ele é irracional! A notação é ou I e você já vai ver quem é .
Conjunto dos Números Reais
Ooooooh! Finalmente chegamos ao último, mas não menos importante, conjunto numérico: Conjunto dos números reais!
“Ahn? Por algum acaso os que eu vi até agora não são reais?”
Hahahah são sim, esses aqui se chamam assim porque tem um outro conjunto que não veremos chamado de Conjunto dos números Complexos (que guarda os números imaginários, não reais), mas isso não vem ao caso!
O ponto é que o conjunto dos números reais é uma expansão dos racionais para guardar também os irracionais. Então a gente diz que o conjunto dos números reais é a união entre o conjunto dos racionais e o conjunto dos irracionais, saca só:
Perceba que os naturais estão contidos nos inteiros, que por sua vez estão contidos nos racionais!
Notações de Conjuntos
Bom, agora que já vimos esses conjuntos tops, vamos aprender a escrever bonitinho um conjunto. Existem duas formas (isso eu já falei): enumerativa e predicativa (famoso por extenso). Porém, quero falar aqui especialmente sobre um tipo que ainda não comentei: predicativa construtiva!
Ela é assim: consiste em apresentar os elementos de um conjunto através de expressões que envolvem variáveis. Na prática, ficamos com:
Exemplos:
Cara, você vai ter a expressão antes da barra e o que você faz é substituir os valores que pertencem ao conjunto dado. Este conjunto que fizemos agora é o conjunto dos números pares. Sabemos que para ser par, um número precisa ser múltiplo de , que matematicamente significa ser escrito na forma .
Um número para ser divisível por , precisa ser múltiplo do mesmo e, portanto, ser escrito da forma
Agora eu quero que você escreva o conjunto dos números ímpares!
“Como eu faço isso?”
GUARDA NO SEU SANGUE! Os números ímpares não são divisíveis por . E os ímpares podem sempre serem escritos como um número par somado a um número ímpar. Então façamos isso:
“Ah, mas por que você escolheu o ?”
Tudo bem, façamos de conta que eu escolho o :
Concorda comigo que eu posso escrever:
E se eu chamo:
A gente sempre cai no mesmo lugar. Então já sabe, número ímpar é daquele jeito ali!
Agora o seu professor quer que você escreva o conjunto dos números que quando divididos por deixa resto . Se liga, o processo é sempre o mesmo:
É isso por hoje, anjo! Bora exercitar!
Conjunto dos Números Inteiros ( Z )
Conjunto dos Números Racionais ( Q )
Conjunto dos Números Irracionais ( R - Q )
Conjunto dos Números Reais ( R )
Notações de Conjuntos
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Descreva os conjuntos abaixo na forma construtiva:
Passo 1
Oláááá!!! Bom, vamos começar do começo, ok? Rs
No enunciado, ele pede para colocar na forma construtiva. Você lembra de como é essa forma? Eu te digo! Basicamente é assim:
Na letra , temos o seguinte:
Traduzindo:
Para ser divisível por , é necessário que o número seja múltiplo do mesmo. Então podemos escrever assim:
Passo 2
Nessa aqui eu vou te dar uma ajudinha... Sabe o que esses números têm em comum? Saca só:
Parece voodoo né? Mas relaxa, você pega a manha com o tempo e a prática!
Vamos tentar entender o que acabou agora há pouco: todos esses números do conjunto podem ser escritos como
Mas que números são esses? Vou chamar de e temos que:
Desde que . Então a resposta é:
Passo 3
Aaaaaaaah esse conjunto aqui é muito famoso! Fica ligado 😉
Perceba que o que temos ali são apenas números ímpares e positivos. Mas como a gente representa isso?
Vamos pensar primeiro em números pares. Todo número par é divisível por , e para ser divisível por , ele precisa ser múltiplo de .
Então a representação em conjunto dos números pares e positivos na forma construtiva é:
Ora, nós sabemos que números ímpares NÃO s��o divisíveis por , e os números divisíveis por andam de dois em dois. Sendo assim, a gente só precisa acrescentar ao , ficando com:
Meu anjo, GUARDA essas representações de par e ímpar positivos NO SEU SANGUE!
Resposta
Exercício Resolvido #2
Diga se é verdadeira ou falsa cada proposição abaixo:
Passo 1
Como eu sempre digo, bora começar pelo começo! A primeira afirmativa é a seguinte:
E aí, pequeno gafanhoto? O que acha? V ou F?
Cara, vamos relembrar qual a característica dos números naturais!
É o conjunto dos números inteiros não-negativos. Então o realmente pertence a esse conjunto, já que ele é um número inteiro e não-negativo.
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 2
Próxima é o seguinte:
Bora relembrar qual a características dos números racionais!
Todo número racional pode ser representado como:
Ou seja, como uma fração de números inteiros, MAS o denominador tem que ser DIFERENTE de zero.
Olha só o que temos:
Concorda comigo? Então sim, pertence aos racionais!
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Dá uma olhada nessa:
Cara, tem uma leve pegadinha nessa aqui!
Novamente, bora relembrar qual a características dos números racionais!
Todo número racional pode ser representado como:
Ou seja, como uma fração de números inteiros, MAS o denominador tem que ser DIFERENTE de zero.
Olha só o que temos:
Ué, então tá certo, não? NÃO! Fique atento! Primeiramente:
Ou seja, ele não é inteiro. PORÉM, a principal característica aqui é que ele é um número IRRACIONAL, ou seja, pertence ao conjunto . Isso quer dizer que não conseguimos representa-lo como fração.
E uma divisão de um número irracional por um número inteiro, continua sendo um número irracional.
Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 4
Bora pra próxima:
Olha só o conjunto dos números inteiros:
Ou seja, os números pulam de um em um e NÃO temos números decimais (vulgo número com vírgula).
Olha o que a gente tem:
Opa, temos uma vírgula ali com números naturais depois dela. Ou seja, esse número não é inteiro!
Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 5
Chegamos na metade, força!
Cara, novamente temos a mesma situação.
Olha só o conjunto dos números inteiros:
Ou seja, os números pulam de um em um e NÃO temos números decimais (vulgo número com vírgula).
Olha o que a gente tem:
Opa, temos uma vírgula ali com números naturais depois dela. Ou seja, esse número não é inteiro!
Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 6
Olha essa aqui:
Aaaaaah, aqui nós temos uma notação!
Saca só o que vou escrever:
Sacou? Quando tem um asterisco no conjunto, você precisa tirar o zero desse conjunto e tchã-rã! Vida que segue.
Então o que temos é que o NÃO pertence ao conjunto , concorda comigo?
Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 7
A próxima diz o seguinte:
“Ah, essa aqui eu já respondo que é falsa!”
Calma, amigx. Vamos dar uma olhada novamente na definição desse conjunto.
Todo número racional pode ser representado como:
Ou seja, como uma fração de números inteiros, MAS o denominador tem que ser DIFERENTE de zero.
Olha só o que temos:
Concorda? O zero pode ser representado como fração, basta colocar qualquer número inteiro diferente de dele mesmo no denominador, como por exemplo:
Então a afirmação é verdadeira.
Passo 8
Força que já está acabando! Dá uma olhada:
Você lembra que conjunto é esse: ???
Cara, o conjunto dos números reais é construído através da união dos conjuntos racionais e irracionais.
Se aquela expressão diz que estou tirando os números racionais dos números reais, quer dizer que restaram apenas os números irracionais!
Logo, é o conjunto dos números irracionais. E nesse conjunto, tem-se que os números NÃO podem ser escritos como fração de números inteiros.
O que temos é:
Ou seja, é uma dízima não periódica, então não conseguimos representa-la como fração. Então ele realmente pertence ao conjunto dos números irracionais.
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 9
A próxima diz o seguinte:
Aaaaaah, aqui nós temos uma notação!
Saca só o que vou escrever:
Sacou? Quando tem um menos no conjunto, você precisa tirar todos os números positivos desse conjunto e tchã-rã! Lembrando que zero é neutro, então ele permanece! Vida que segue.
Temos o seguinte:
Ora, o nem é inteiro nem é não-positivo!
Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 10
É a últimaaaaaa!!! Tá quase acabando!
Aaaaaah, aqui nós temos uma notação!
Saca só o que vou escrever:
Sacou? Quando tem um menos no conjunto, você precisa tirar todos os números negativos desse conjunto e tchã-rã! Lembrando que zero é neutro, então ele permanece! Vida que segue.
Ora, é um número inteiro e é não-negativo.
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Resposta
Exercício Resolvido #3
Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmativas a seguir:
Passo 1
Uuuuuuh, agora nós temos que avaliar subconjuntos! É como eu sempre digo, vamos começar pelo começo hahaha
Aqui ele diz que o conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos números inteiros. Dá uma olhadinha no seguinte:
Percebe que é um conjunto que contém os mesmos elementos que em estão em , embora não possua todos, isso não tem problema.
Pense no conjunto dos números naturais como um conjuntinho dentro do conjunto dos números inteiros. Então é sim subconjunto!
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 2
Se liga nessa:
Bom, já falei muuuito pra você que o conjunto dos números reais é formado pela união dos conjuntos dos números racionais e irracionais.
Então o conjunto dos racionais é realmente um subconjunto do conjunto dos números reais. Pense no conjunto dos números racionais como um conjuntinho dentro do conjunto dos números reais. Então é sim subconjunto!
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Agora essa:
Bom, o conjunto dos números naturais é o seguinte:
Esses caras todos podem ser escritos como uma fração de inteiros, olha só:
E por aí vai. Então todo número natural é racional. Portanto o conjunto dos números naturais está dentro do conjunto dos números racionais. Logo, é subconjunto de .
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Estamos quase no fim, dá uma olhada nessa próxima:
Uou! Meio feio né? Não se preocupe que tu vai entender! Bom, já cansei de falar aqui (e você deve estar cansado de ler) que o conjunto dos números reais é a união dos conjuntos dos números racionais e irracionais. Se liga nessa operação:
Esse cara quer dizer que eu to pegando o conjunto dos números reais e tirando o conjunto dos números racionais, ou seja, estamos falando do conjunto dos números irracionais!!!
Cara, como o conjunto dos irracionais é um dos conjuntos que compõem os reais, ele PRECISA estar dentro dos reais, ele tem que ser um subconjunto!
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Por último e não menos importante:
Bom, para dois conjuntos serem iguais, eles precisam ter exatamente os mesmos elementos. Vamos ver do que se trata cada conjunto:
Amigx, aqui estamos considerando o como um elemento dos naturais. Veja com o seu professor se ele considera assim também 😉
Agora vamos representar : conjunto dos números inteiros não-negativos e sem o zero
Perceba que os naturais contêm o zero e o outro conjunto não.
Portanto, a afirmativa é falsa.
Resposta
Exercício Resolvido #4
Em uma escola com alunos, sabe-se que: jogam vôlei, jogam futebol e não praticam vôlei nem futebol. Nessas condições, determine quantos alunos praticam futebol e vôlei.
Passo 1
Vamos primeiro representar o que temos no diagrama de Venn:
Em que é o conjunto dos alunos que jogam vôlei, é o conjunto dos alunos que jogam futebol e S é o conjunto de todos os alunos. Olha só o que fazemos agora:
Então temos as seguintes relações:
Lembrando que .
Passo 2
Então agora podemos montar as equações:
Perceba que o que o problema quer é que você diga quantos alunos está na interseção dos conjuntos e , então queremos encontrar o valor de .
Passo 3
Vamos resolver então as equações:
Vamos começar somando as três primeiras equações:
E agora, vamos fazer essa equação menos a quarta equação do sistema:
Show, é isso aí!
Resposta
alunos praticam futebol e vôlei.
Exercício Resolvido #5
Sejam dados os conjuntos:
Determine o conjunto .
Determine o conjunto .
Passo 1
Começando pelo começo...
Nessa questão, ele quer a interseção entre os dois conjuntos, ou seja, precisamos ver quais elementos estão em e em ao mesmo tempo.
Bora fazer um esboço dos conjuntos, ok?
é um conjunto dos múltiplos não-negativos de :
é um conjunto dos múltiplos não-negativos de :
Então de cara podemos fazer assim:
Mas qual é a característica desses números? Anjo, eles são divisíveis por ambos e . E um número divisível por e , é divisível por , pois . Então é justo dizer que:
Passo 2
Agora a próxima diz assim:
Eu vou te testar!!! O que significa ?
Se você respondeu , está correto! Essa operação quer dizer o que? Quer dizer que eu estou pegando o conjunto e tirando todos os elementos que estão em .
Vamos fazer um esboço desses conjuntos! Começaremos pelo que é mais tranquilo:
Agora vamos no :
Eita ferro, temos um conjunto definido através de outros dois conjuntos. Calma, vamos escrever os conjuntos e :
Então o gente pode escrever como:
E aí nós tirar desse conjunto todos os caras maiores ou iguais a , ou seja, sobrarão os números de a . Porém, não sabemos quais números de a que ficaram.
Percebe só o que to dizendo: para conseguir o número , por exemplo, escrito na forma , precisamos que:
Por ter usado o , saímos do conjunto dos naturais e entramos no conjunto dos inteiros. A mesma coisa acontece com alguns outros.
Façamos o seguinte, vamos tentar escrever os números de a na forma , ok? Se envolver algum número negativo para ou , a gente exclui esse cara do conjunto.
Então olha aí, os únicos casos em que foram mantidos foram: .
Portanto: