Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.6 - Ex. 3

Prove que é irracional.

(a)

(b)

Passo 1

Fala aí, pessoal! Tudo certinho? 😁

Nesse problema temos que mostrar que e são valores irracionais...

Parece complicado? 😬

Primeiro vamos relembrar o que é o conjunto dos números irracionais!

Um número irracional é um número real que não pode ser expresso como a razão de dois números inteiros. Isso significa que um número irracional é um número decimal infinito e não periódico, ou seja, que não tem uma parte decimal que se repete.

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

(a) Galera, se fosse um número racional, a gente conseguiria escrevê-lo assim:

onde e fossem naturais positivos, e a fração fosse irredutível.

Então, vamos supor que essa equação é verdadeira, e se encontrarmos alguma contradição, significa que provamos que é irracional.

Elevamos a equação ao quadrado:

Assim, vemos que é múltiplo de , logo é par. Porém, o quadrado de um número ímpar é sempre ímpar, então se é par, só pode ser par.

Podemos então escrever :

Agora substituímos a nova expressão de na equação:

Aqui achamos nossa contradição. Se for par, teremos e pares, o que significaria que a fração não é irredutível, como supomos. E se for ímpar, teremos ímpar, logo também é ímpar, o que contradiz com o fato de ser múltiplo de .

Logo, por contradição, é irracional.

Bacana, não é? 😎

Passo 3

(b) Vamos supor, por contradição, que é racional. Elevamos tudo ao quadrado:

Lembre-se de que, pelo item (a), é irracional. Porém, supomos logo acima que é racional, então é racional, o que implicaria que é racional. Logo, teríamos racional.