Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.6 - Ex. 3
Prove que é irracional.
(a)
(b)
Passo 1
Fala aí, pessoal! Tudo certinho? 😁
Nesse problema temos que mostrar que e são valores irracionais...
Parece complicado? 😬
Primeiro vamos relembrar o que é o conjunto dos números irracionais!
Um número irracional é um número real que não pode ser expresso como a razão de dois números inteiros. Isso significa que um número irracional é um número decimal infinito e não periódico, ou seja, que não tem uma parte decimal que se repete.
Sacou? Bora começar! 😊
Passo 2
(a) Galera, se fosse um número racional, a gente conseguiria escrevê-lo assim:
onde e fossem naturais positivos, e a fração fosse irredutível.
Então, vamos supor que essa equação é verdadeira, e se encontrarmos alguma contradição, significa que provamos que é irracional.
Elevamos a equação ao quadrado:
Assim, vemos que é múltiplo de , logo é par. Porém, o quadrado de um número ímpar é sempre ímpar, então se é par, só pode ser par.
Podemos então escrever :
Agora substituímos a nova expressão de na equação:
Aqui achamos nossa contradição. Se for par, teremos e pares, o que significaria que a fração não é irredutível, como supomos. E se for ímpar, teremos ímpar, logo também é ímpar, o que contradiz com o fato de ser múltiplo de .
Logo, por contradição, é irracional.
Bacana, não é? 😎
Passo 3
(b) Vamos supor, por contradição, que é racional. Elevamos tudo ao quadrado:
Lembre-se de que, pelo item (a), é irracional. Porém, supomos logo acima que é racional, então é racional, o que implicaria que é racional. Logo, teríamos racional.
Por contradição! Provamos que é irracional.
E aí? Achou de boa? Responde Aí! 😉
Resposta
e são irracionais.