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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.6 - Ex. 11

Sejam x , y dois reais quaisquer, com 0 < x < y . Prove

root(3)(y - x) > root(3)(y) - root(3)(x)

Passo 1

O truque aqui será desenvolver a seguinte inequação:

root(3)(y) root(3)(x) (root(3)(x) - root(3)(y)) < 0

Note que ela é verdadeira, pois, se usarmos as condições do enunciado:

y > 0 => root(3)(y) > 0

x > 0 => root(3)(x) > 0

0 < x < y => root(3)(x) < root(3)(y) => root(3)(x) - root(3)(y) < 0

Então, começamos a desenvolver a inequação:

root(3)(y) root(3)(x) root(3)(x) - root(3)(y) root(3)(x) root(3)(y) < 0

root(3)(y) root(3)(x^2) - root(3)(y^2) root(3)(x) < 0

Passo 2

Agora, multiplicamos a inequação por 3 :

3 root(3)(y) root(3)(x^2) - 3 root(3)(y^2) root(3)(x) < 0

Depois, somamos y - x nos dois lados:

y - x + 3 root(3)(y) root(3)(x^2) - 3 root(3)(y^2) root(3)(x) < y - x

y - 3 root(3)(y^2) root(3)(x) + 3 root(3)(y) root(3)(x^2) - x < y - x

Perceba que na esquerda temos um cubo perfeito:

(root(3)(y) - root(3)(x))^3 < y - x

Só resta tirar a raiz cúbica:

root(3)(y) - root(3)(x) < root(3)(y - x)

Logo, provamos:

root(3)(y - x) > root(3)(y) - root(3)(x)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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