Intervalos

Bom, é aquilo que sempre digo, é do começo que se começa (tá, isso tinha ficado melhor na minha cabeça)

Veja que temos que é estritamente maior que e ele não tem um máximo, pode ir embora até quando quiser. Ele tem apenas um chão, um valor do qual ele não passa, e nesse caso, ele nunca chega àquele valor , por conta da desigualdade. Vamos ter o seguinte:

A representação gráfica será (em vermelho):

Como temos um intervalo aberto em , precisamos de uma bolinha aberta nele.

Show, bora pro próximo!

Aqui temos que está dentro de um intervalo que tem o como maior valor e como seu menor valor, e pode assumir quaisquer um dos dois valores inclusive. Sendo assim, temos um intervalo fechado:

A representação gráfica será (em vermelho):

Como temos um intervalo fechado em e em , a bolinha precisa ser fechada nesses pontos.

Dá uma olhada nessa aqui agora:

MUITA ATENÇÃO NESSE DETALHE: temos um OU ali, então teremos uma UNIÃO de intervalos!

Vamos olhar um de cada vez. O primeiro diz que pode ser qualquer valor menor que e pode ser inclusive. Então o intervalo é fechado em e aberto no infinito negativo:

E o segundo é um intervalo aberto em e fechado em , isso porque temos apenas o sinal de desigual em mas temos um sinal de igualdade ali também em .

Ora, agora vamos uni-los:

A representação gráfica é a seguinte (lembrando que bola fechada é no intervalo fechado e bola aberta é no intervalo aberto):

Olha só essa última:

MUITA ATENÇÃO NESSE DETALHE: temos um OU ali, então teremos uma UNIÃO de intervalos!

Vamos olhar um de cada vez. O primeiro diz que pode ser qualquer valor menor que 0. Então o intervalo é aberto em 0 e aberto no infinito negativo:

E o segundo é um intervalo aberto em e em , isso porque temos apenas o sinal de desigual em e :

Por último, temos um intervalo que diz que é estritamente maior que , então teremos um intervalo aberto em :

Ora, agora vamos uni-los:

A representação gráfica é a seguinte (lembrando que bola fechada é no intervalo fechado e bola aberta é no intervalo aberto):

Antes de começar a resolver, vamos entender as notações e o que a figura quer dizer!

Repara na linha que temos umas bolinhas vazias e umas todas preenchidas da cor vermelho. Elas vão ser chamadas de bolas abertas e fechadas, respectivamente.

E o que cada uma representa?

• Bola abertaintervalo aberto, ou seja, aquele número não pertence ao intervalo. A gente representa com um parênteses ou com um colchete virado para fora. Você pode escolher parênteses ou colchetes, ok?
• Bola fechadaintervalo fechado, ou seja, aquele número pertence ao intervalo. A gente representa com um colchete virado para dentro.

Bora fazer essas coisas do começo:

Então as extremidades do intervalo são e , com as bolinhas abertas neles. Então temos:

Essa foi a notação de intervalo, vamos fazer a de desigualdades. Perceba que estamos falando da reta real e temos que (um número real qualquer) está entre e , então:

Foi um bom começo né? Vamos continuar arrasando.

Aqui temos a união de intervalos, percebe?

Vamos escrever em intervalo o primeiro tracinho vermelho, que tem uma bola aberta em :

A gente a setinha ta indo em direção a um número negativo muito grande, a gente usa essa representação com , ok?!

No segundo tracinho vermelho temos um intervalo aberto tanto em quanto em :

O terceiro tracinho vermelho tem uma bolinha aberta em e segue para o infinito:

Então o intervalo é a união dos três que encontramos agora:

Vamos escrever agora em notação de desigualdades. Perceba que estamos falando da reta real e temos que (um número real qualquer) menor que OU ele está entre OU ele é maior que :

Cada símbolo de união corresponde à palavra OU na notação de desigualdades.

Agora temos um aí só pra te colocar medo! Hahahaha mas relaxa, o processo é o mesmo!

Temos ali uma bolinha fechada em e ponto, não tem tracinho nenhum. O que isso quer dizer? Quer dizer apenas que assume o valor , bem simples e objetivo.

Já o outro tracinho, nos mostra um intervalo que de vai de a , ambos com bolinha aberta. Vamos escrever o intervalo:

Lembrando que por mais que tenhamos apenas um número, só podemos unir CONJUNTOS, então escrevemos o número como um conjunto unitário (colocamos chaves nele)

Maneiro né? Bora escrever na notação de desigualdades. Perceba que estamos falando da reta real e temos que (um número real qualquer) é igual a OU ele está entre :

Cada símbolo de união corresponde à palavra OU na notação de desigualdades.

NOSSSSAAAAAA AGORA EU ENTREGO PRA DEUS!

Não faça isso, você verá que é a mesma coisa!!! Agora temos a união de quatro intervalinhos.

Olhando pro primeiro:

Agora olhando pro segundo:

Perceba que agora temos uma bolinha fechada em , então o intervalo foi fechadinho nele.

Olhando por terceiro:

Pois é, esse é somente um número porque temos só uma bolinha e pronto. Agora olhando pro quarto tracinho:

Show, bora unir essa galera:

Lembrando que por mais que tenhamos apenas um número, só podemos unir CONJUNTOS, então escrevemos o número como um conjunto unitário (colocamos chaves nele)

Agora passando isso para notação de desigualdades. Perceba que estamos falando da reta real e temos que (um número real qualquer) é menor que OU ele está entre OU ele é igual a OU ele é maior que :

Cada símbolo de união corresponde à palavra OU na notação de desigualdades.

Primeiramente, vamos dar uma olhada em nossos dois intervalos, para ficar mais claro:

Vamos começar com a letra

Essa operação significa que vamos unir os dois intervalos, que graficamente seria o seguinte:

Perceba que a bolinha aberta some na união!!! Então o intervalo da união é:

A próxima letra pede:

Agora, não vamos unir os termos, vamos ver quais termos estão nos dois intervalos ao mesmo tempo! Olha o desenho:

Agora é só escrever como intervalo:

Dá uma olhada nessa aqui:

Agora nós precisamos pegar o intervalo e tirar todos os elementos que estão em . Novamente, olhe o desenho (desenhos são as melhores técnicas para esse tipo de questão):

Agora é só escrever na notação de intervalo:

Olhaaaaaa, já estamos na última! Você tá indo bem, só mais uma, vem:

Então, a agora é justamente o contrário: vamos pegar o conjunto e tirar todos os elementos que estão no conjunto também. Olha o desenho de como fica:

Perceba que temos uma bolinha aberta agora no , isso aconteceu porque estava no intervalo e no , portanto tivemos que tirá-lo dessa brincadeira! Agora escrevendo com a notação de intervalo:

FIMMM!

Ok, dá pra ver que tem muita conta pra fazer, mas vamos nos adiantar logo em algumas coisas.

Guarda isso aí!

Falta só mais umazinha:

Agora que já fizemos nosso esboço, vamos atacar as alternativas!

Olha como fica o desenho:

Lembrando que a primeira reta é e . Escrevendo em notação de intervalo:

Lembrando também que

Próxima alternativa:

Olhe só o desenho de como o lado esquerdo fica:

Lembrando que a primeira reta representa e . Escrevendo em forma de intervalo:

Agora vamos ver o desenho de :

Perceba que são iguais, ou seja, essa está correta!!!

Olha só o desenho de como fica isso (lembrando que ):

Passando isso pra notação de intervalo:

Logo, essa afirmação não é verdade.

Saca só como fica o desenho dessa parada (lembrando que ):

Escrevendo isso na notação de intervalo:

Portanto, esta não está certa.

Olha essa agora:

Se liga como fica o desenho (lembrando que ):

Passando isso pra notação de intervalo, ficamos com:

Lembrando que

Você que me acompanha aqui, sabe que agora eu diria pra começar do começo. Mas qual é o fuc***ng começo? Hahaha vamos começar dos parênteses ok?

Precisamos de , saca só o desenho:

Essa primeira linha tem exatamente aquilo que procuramos: a interseção entre os três conjuntos, ou seja, aqueles números que estão presentes nos três conjuntos. Na notação de intervalo:

Agora vamos atrás do :

Veja que

Escrevendo na notação de intervalo:

Mas o que a questão quer é justamente o complementar disto, ou seja, tudo aquilo na reta que não seja o . Se liga como fica no desenho:

Percceba que as bolinhas fechadas viram bolinhas abertas e preenchemos tudo aquilo que estava preenchido. Escrevendo isso na notação de intervalo:

Maneiro, esse cara ta estranho, mas vida que segue! Vamos agora realizar a operação:

Escrevendo na notação de intervalo:

Perceba que são intervalos/conjuntos disjuntos, então não temos como simplificar esse termo. Pensa neles como quatro tracinhos numa reta que não se tocam.

Vamos enfim para o último passo, que é realizar a última operação:

Então, na representação gráfica, ficamos com:

A última linha nos dá o resultado dessa contarada toda. Vamos escrever isso na notação de intervalo: