Teoria

Primeiramente, o que seria alterar um gráfico? Aqui, vamos falar sobre algumas das possibilidades de mudanças que podemos fazer no gráfico de uma função, como movê-lo no plano cartesiano, refletí-lo ou deixá-lo mais ou menos inclinado.

Transformações do tipo y = f ( x - c ) e y = f x + c

Essa transformação acontece no eixo horizontal porque estamos mexendo com a variável x .

Logo, temos duas possibilidades: o gráfico pode se movimentar para a direita ou para esquerda. Não há outra alternativa de “caminho” no eixo x .

A pergunta que fica é: se estamos saindo de y = f x para y = f x - c vamos pra direita ou para a esquerda? E aí o que você acha?

Vamos ver o que acontece em um exemplo!

Exemplo: vamos começar com a função y = x 2 - 4 .

Como temos uma função do 2º grau, podemos afirmar que seu gráfico será uma parábola. Com algumas continhas, achamos suas raízes:

x 2 - 4 = 0

x 2 = 4

x = 4 = ± 2

Por fim, como o x 2 da função está “sozinho”, o a que o acompanha vale 1 , que sendo positivo faz a parábola ter abertura pra cima, então o gráfico fica:

Agora vamos esboçar o gráfico da função

y = f x - 3

Aqui, vamos substituir todos os x que fazem parte da nossa função por ( x - 3 ) . Como só temos o x 2 , a função vai ficar

y = x - 3 2 - 4

Repare que como o x estava elevado ao quadrado, o ( x - 3 ) que colocamos também fica elevado ao quadrado!

Mas e aí, como vamos esboçar o gráfico de y = x - 3 2 - 4 ?

Primeiro, repare que:

y = x - 3 2 - 4 ⟹ y = x 2 - 6 x + 9 - 4

y = x 2 - 6 x + 5

Essa função é uma parábola igual a outra só que com raízes diferentes, que são 1 e 5 . Então, seu gráfico fica:

Tá beleza, mas o que um gráfico tem a ver com o outro?

Vamos colocar um do lado do outro pra conseguir enxergar o que ta rolando:

As formas dos gráficos são iguais né? Ambos são parábolas voltadas para cima.

Olhando com um pouco mais de cuidado podemos perceber que, na verdade, o gráfico verde parece ser o gráfico azul deslocado para direita. Concorda?

Mas porque fizemos isso? Repara que temos f x   para a função azul e f x - 3 para a função verde.

Nessa última, tudo acontece 3 unidades depois porque estamos tirando, subtraindo, 3 do x . Isso faz a função “atrasar” tudo em 3 , então vai acontecer tudo igual mas com x indo 3 unidades para direita.

Opa! Aprendemos a primeira transformção, que chamamos de translação.

Conhecendo o gráfico de y = f x , o gráfico de y = f x - c é obtido a partir do gráfico de f x deslocando-o em c unidades para a DIREITA!

Usando a mesma lógica, conhecendo o gráfico de y = f x , o gráfico de y = f x + c é obtido a partir do gráfico de f x , mas agora deslocando em c unidades para a ESQUERDA!

Lembre que aqui estamos usando c como uma constante POSITIVA!

Transformações do tipo y = f ( x ) - c e y = f x + c

Repare que estamos, novamente, somando e subtraindo uma constante c , mas desta vez a constante está fora do parêntese.

Vamos ver um exemplo para entender como funciona, usando novamente a função f x = x 2 - 4 . Então, se quisermos fazer

y = f x + 6

Temos que somar o 6 à função que temos inicialmente:

y = ( x 2 - 4 ) + 6 ⟹ y = x 2 + 2

Mais uma vez temos uma parábola e, comparando os gráficos, podemos ver como a mudança afeta a função:

Repare que o gráfico em vermelho, que representa a função f x = x 2 + 2 , é idêntico ao azul, que representa f x = x 2 - 4 , mas deslocado pra cima exatamente em 6 unidades!

Mas por que isso acontece?

Nas transformações do tipo y = f ( x ) - c e y = f x + c , a função inteira está sendo somada ou subtraída em c unidades, ou seja, você está mudando o valor de y e mantendo o x igual. E como só estamos mudando o valor de y , o gráfico se desloca também no sentido de y : subindo ou descendo.

Então se conhecemos o gráfico de y = f x e queremos esboçar o gráfico de y = f x + c basta deslocar o gráfico de f x em c unidades para cima!

E se quisermos esboçar o gráfico de y = f x - c , basta deslocar o gráfico de y = f x em c unidades para baixo.

De novo, c deve ser uma constante POSITIVA!

Transformações do tipo y = f - x e y = - f x

Mais uma vez vale lembrar que, quando estamos mexendo dentro do parêntese da expressão y = f x estamos mexendo diretamente no x e se mudarmos algo fora do parêntese, estamos mexendo diretamente no y !

Com isso em mente, como fazer f - x a partir do gráfico de f x ?

Vamos começar com o gráfico de f x = x :

Importante lembrar que dentro de uma raiz quadrada só podem entrar números positivos, por isso o gráfico começa em x = 0 e depois conforme o x vai crescendo, o y vai crescendo também.

Agora vamos ver o que muda para f ( - x ) , que será:

y = - x

Como fica o gráfico dessa função? Estamos perdidos? Não! Precisamos pensar quais são os números que quando eu colocar ali dentro o resultado será positivo.

Como temos o sinal de negativo na função, pro valor dentro da raiz ser positivo precisamos de números também negativos, já que - × - = + ! Então o gráfico fica:

Repare que é o mesmo gráfico de antes só que “para o outro lado”.

Então, se estamos indo do gráfico de f x para o gráfico de f - x , tudo que era positivo no domínio passou a ser negativo, não foi? E tudo que era negativo passou a ser positivo, já que tem um sinal de menos ali na frente. Então é como se tivéssemos invertido a orientação do eixo horizontal.

É COMO SE TIVÉSSEMOS. Não estamos mudando orientação nenhuma, isso só ajuda a entender o que tá rolando, o eixo fica lá paradinho na dele, mas é como se girássemos 180 ° em torno do eixo vertical, isto é, refletimos tudo ao redor dele.

Resumindo: para esboçar o gráfico de f - x a partir do gráfico de f x , basta girar o gráfico de f x em torno do eixo vertical!

E para obter o gráfico de - f x , vai acontecer uma coisa beeem parecida, basta girar o gráfico de f x em 180 ° em torno do eixo horizontal e tudo que tava em cima vai pra baixo e vice-versa, já que aqui estamos mexendo com o y !

Vamos ver como exemplo o gráfico de y = - x :

Repare que ele tem a mesma forma do gráfico de y = x só que “de cabeça pra baixo”! E é isso que vai acontecer sempre que fizermos essas mudanças do tipo - f ( x ) !

Isso é tudo, pessoal!

Transformações do tipo y = f ( x ) - c e y = f x + c

Transformações do tipo y = f - x e y = - f x

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