Modificações gráficas
Produzido por Erick PinhoTeoria
Primeiramente, o que seria alterar um gráfico? Aqui, vamos falar sobre algumas das possibilidades de mudanças que podemos fazer no gráfico de uma função, como movê-lo no plano cartesiano, refletí-lo ou deixá-lo mais ou menos inclinado.
Transformações do tipo e
Essa transformação acontece no eixo horizontal porque estamos mexendo com a variável .
Logo, temos duas possibilidades: o gráfico pode se movimentar para a direita ou para esquerda. Não há outra alternativa de “caminho” no eixo .
A pergunta que fica é: se estamos saindo de para vamos pra direita ou para a esquerda? E aí o que você acha?
Vamos ver o que acontece em um exemplo!
Exemplo: vamos começar com a função .
Como temos uma função do 2º grau, podemos afirmar que seu gráfico será uma parábola. Com algumas continhas, achamos suas raízes:
Por fim, como o da função está “sozinho”, o que o acompanha vale , que sendo positivo faz a parábola ter abertura pra cima, então o gráfico fica:
Agora vamos esboçar o gráfico da função
Aqui, vamos substituir todos os que fazem parte da nossa função por . Como só temos o , a função vai ficar
Repare que como o estava elevado ao quadrado, o que colocamos também fica elevado ao quadrado!
Mas e aí, como vamos esboçar o gráfico de ?
Primeiro, repare que:
Essa função é uma parábola igual a outra só que com raízes diferentes, que são e . Então, seu gráfico fica:
Tá beleza, mas o que um gráfico tem a ver com o outro?
Vamos colocar um do lado do outro pra conseguir enxergar o que ta rolando:
As formas dos gráficos são iguais né? Ambos são parábolas voltadas para cima.
Olhando com um pouco mais de cuidado podemos perceber que, na verdade, o gráfico verde parece ser o gráfico azul deslocado para direita. Concorda?
Mas porque fizemos isso? Repara que temos para a função azul e para a função verde.
Nessa última, tudo acontece unidades depois porque estamos tirando, subtraindo, do . Isso faz a função “atrasar” tudo em , então vai acontecer tudo igual mas com indo unidades para direita.
Opa! Aprendemos a primeira transformção, que chamamos de translação.
Conhecendo o gráfico de , o gráfico de é obtido a partir do gráfico de deslocando-o em unidades para a DIREITA!
Usando a mesma lógica, conhecendo o gráfico de , o gráfico de é obtido a partir do gráfico de , mas agora deslocando em unidades para a ESQUERDA!
Lembre que aqui estamos usando como uma constante POSITIVA!
Transformações do tipo e
Repare que estamos, novamente, somando e subtraindo uma constante , mas desta vez a constante está fora do parêntese.
Vamos ver um exemplo para entender como funciona, usando novamente a função . Então, se quisermos fazer
Temos que somar o à função que temos inicialmente:
Mais uma vez temos uma parábola e, comparando os gráficos, podemos ver como a mudança afeta a função:
Repare que o gráfico em vermelho, que representa a função , é idêntico ao azul, que representa , mas deslocado pra cima exatamente em unidades!
Mas por que isso acontece?
Nas transformações do tipo e , a função inteira está sendo somada ou subtraída em unidades, ou seja, você está mudando o valor de e mantendo o igual. E como só estamos mudando o valor de , o gráfico se desloca também no sentido de : subindo ou descendo.
Então se conhecemos o gráfico de e queremos esboçar o gráfico de basta deslocar o gráfico de em unidades para cima!
E se quisermos esboçar o gráfico de , basta deslocar o gráfico de em unidades para baixo.
De novo, deve ser uma constante POSITIVA!
Transformações do tipo e
Mais uma vez vale lembrar que, quando estamos mexendo dentro do parêntese da expressão estamos mexendo diretamente no e se mudarmos algo fora do parêntese, estamos mexendo diretamente no !
Com isso em mente, como fazer a partir do gráfico de ?
Vamos começar com o gráfico de :
Importante lembrar que dentro de uma raiz quadrada só podem entrar números positivos, por isso o gráfico começa em e depois conforme o vai crescendo, o vai crescendo também.
Agora vamos ver o que muda para , que será:
Como fica o gráfico dessa função? Estamos perdidos? Não! Precisamos pensar quais são os números que quando eu colocar ali dentro o resultado será positivo.
Como temos o sinal de negativo na função, pro valor dentro da raiz ser positivo precisamos de números também negativos, já que Então o gráfico fica:
Repare que é o mesmo gráfico de antes só que “para o outro lado”.
Então, se estamos indo do gráfico de para o gráfico de , tudo que era positivo no domínio passou a ser negativo, não foi? E tudo que era negativo passou a ser positivo, já que tem um sinal de menos ali na frente. Então é como se tivéssemos invertido a orientação do eixo horizontal.
É COMO SE TIVÉSSEMOS. Não estamos mudando orientação nenhuma, isso só ajuda a entender o que tá rolando, o eixo fica lá paradinho na dele, mas é como se girássemos em torno do eixo vertical, isto é, refletimos tudo ao redor dele.
Resumindo: para esboçar o gráfico de a partir do gráfico de , basta girar o gráfico de em torno do eixo vertical!
E para obter o gráfico de , vai acontecer uma coisa beeem parecida, basta girar o gráfico de em em torno do eixo horizontal e tudo que tava em cima vai pra baixo e vice-versa, já que aqui estamos mexendo com o !
Vamos ver como exemplo o gráfico de :
Repare que ele tem a mesma forma do gráfico de só que “de cabeça pra baixo”! E é isso que vai acontecer sempre que fizermos essas mudanças do tipo !
Isso é tudo, pessoal!