Teoria

Opaa, seja bem vindo ao Responde Aí! Bora bater um papo sobre Problemas de Auto Valor?

Problema de Valor de Contorno (PVC)

Antes de qualquer coisa precisamos saber o que é um PVC! Lá no problema de valor inicial (PVI) tínhamos uma EDO e duas condições iniciais com , aqui a história vai mudar um pouquinho, olha só esse exemplo:

Acima temos uma EDO de 2ª ordem, mas as condições são um pouquinho diferentes…na primeira condição , igualzinho ao PVI. Mas na segunda condição !

-E agora?! 😱

Calma que ainda vai piorar um pouco! Mas depois melhora! 🤣🤣🤣

Problemas de Autovalor

E se eu pegar o da EDO dali de cima e substituir por , assim:

Chamamos esse tipo de problema de problema de autovalor e desafio aqui é que, como não conhecemos o valor de a gente não pode prever se delta será maior, igual ou menor que zero!

-E aí? Como a gente faz? 😖

A solução é não é difícil, mas é um pouco chata…vamos ter que testar os três casos de ! 🥲 Vem comigo que eu te explico!

Como Resolver Problemas de Autovalor

Bora colocar a mão na massa e pra isso vamos usar o exemplo que vimos ali em cima:

Passo 1: Escrever a Equação Característica

A resolução desse tipo de problema começa de uma forma bem parecida com as EDOs de 2ª ordem homogêneas! A primeira coisa que fazemos é escrever a equação característica, pra isso fazemos a seguinte transformação:

No nosso exemplo temos:

Com a equação característica em mãos, podemos isolar o :

Como não conhecemos o , não sabemos em qual caso o vai se encaixar, por isso precisamos testar todos.

Você também pode conferir esse conteúdo em vídeo:

Passo 2: Testar ∆>0

Quando delta for maior que zero teremos duas raízes reais diferentes, então podemos escrever a seguinte solução:

Usando as condições de contorno, ficamos com:

Isso nos dá:

Portanto a solução é trivial!

Passo 3: Testar ∆=0

Nessa hipótese teremos apenas uma raiz, logo podemos escrever:

Usando as condições de contorno:

Novamente temos uma solução trivial.

Passo 4: Testar ∆<0

Nesse caso teremos duas raízes complexas:

Substituindo nas condições de contorno temos:

Resolvendo:

Prontinho! Chegamos então a uma solução não trivial pro nosso problema! Agora vamos praticar com exercícios?

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