Problemas de Autovalor
Produzido por Carolina SabaTeoria
Opaa, seja bem vindo ao Responde Aí! Bora bater um papo sobre Problemas de Auto Valor?
Problema de Valor de Contorno (PVC)
Antes de qualquer coisa precisamos saber o que é um PVC! Lá no problema de valor inicial (PVI) tínhamos uma EDO e duas condições iniciais com
Acima temos uma EDO de 2ª ordem, mas as condições são um pouquinho diferentes…na primeira condição
-E agora?! 😱
Calma que ainda vai piorar um pouco! Mas depois melhora! 🤣🤣🤣
Problemas de Autovalor
E se eu pegar o
Chamamos esse tipo de problema de problema de autovalor e desafio aqui é que, como não conhecemos o valor de
-E aí? Como a gente faz? 😖
A solução é não é difícil, mas é um pouco chata…vamos ter que testar os três casos de
Como Resolver Problemas de Autovalor
Bora colocar a mão na massa e pra isso vamos usar o exemplo que vimos ali em cima:
Passo 1: Escrever a Equação Característica
A resolução desse tipo de problema começa de uma forma bem parecida com as EDOs de 2ª ordem homogêneas! A primeira coisa que fazemos é escrever a equação característica, pra isso fazemos a seguinte transformação:
No nosso exemplo temos:
Com a equação característica em mãos, podemos isolar o
Como não conhecemos o
Você também pode conferir esse conteúdo em vídeo:
Passo 2: Testar ∆>0
Quando delta for maior que zero teremos duas raízes reais diferentes, então podemos escrever a seguinte solução:
Usando as condições de contorno, ficamos com:
Isso nos dá:
Portanto a solução é trivial!
Passo 3: Testar ∆=0
Nessa hipótese teremos apenas uma raiz, logo podemos escrever:
Usando as condições de contorno:
Novamente temos uma solução trivial.
Passo 4: Testar ∆<0
Nesse caso teremos duas raízes complexas:
Substituindo nas condições de contorno temos:
Resolvendo:
Prontinho! Chegamos então a uma solução não trivial pro nosso problema! Agora vamos praticar com exercícios?