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Exercícios Resolvidos de Capacitores

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Exercício 51234678910

Enunciado

Um capacitor de 4 m F apresenta a seguinte tensão em seus terminais:

v =   50   V ,                                                                                           t ≤ 0   A e - 100 t + B e - 600 t       V ,                       t ≥ 0

Se o capacitor tiver uma corrente inicial de 2   A , determine:

  1. As constantes A e B .
  2. A energia armazenada no capacitor em t = 0 .
  3. A corrente no capacitor para t > 0 .

Passo 1

Vamos começar! O enunciado nos fornece a corrente em t = 0 :

i 0 = 2   A

Sabemos que a corrente no capacitor tem a seguinte relação:

i = C d v d t

Para t ≥ 0 , temos:

i = C d d t A e - 100 t + B e - 600 t

Passo 2

Resolvendo a derivada:

i ( t ) = C ( - 100 A e - 100 t - 600 B e - 600 t )

Quando, t = 0 :

i 0 = - 100 C A - 600 C B

Como, i 0 = 2   A e C = 4 × 10 - 3 F :

2 = - 0,4 A - 2,4 B

Passo 3

Precisamos de mais uma equação que relacione A e B . Então, vamos analisar a tensão no capacitor. Nós vimos na teoria que a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente. Logo:

v 0 - = v 0 +

Pelo enunciado, sabemos que v 0 - = 50   V . Para v 0 + , temos:

v 0 + = A e - 100 ( 0 ) + B e - 600 ( 0 )

v 0 + = A + B

Logo, nossa segunda relação é:

50 = A + B

Passo 4

Então, vamos resolver o sistema abaixo para encontrarmos A e B :

A + B = 50 - 0,4 A - 2,4 B = 2

Isolando B na primeira equação e substituindo na segunda, temos:

- 0,4 A - 2,4 50 - A = 2

Simplificando:

2 A = 122

A = 61

Logo:

B = 50 - 61

B = - 11

Passo 5

A letra b) pede a energia do capacitor em t = 0 . A gente sabe que a energia no capacitor tem a seguinte relação:

w = 1 2 C v 2

Já vimos que v 0 = 50   V . Logo:

w = 1 2 4 × 10 - 3 50 2

w = 5   J

Passo 6

Vimos no início do exercício que a equação para corrente é a seguinte:

i ( t ) = C ( - 100 A e - 100 t - 600 B e - 600 t )

Como:

C = 4 m F

A = 61

B = - 11

Substituindo:

i t = 4 × 10 - 3 ( - 100 61 e - 100 t - 600 - 11 e - 600 t )

i t = - 24,4 e - 100 t + 26,4 e - 600 t   A

Resposta

a )   A = 61 ; B = - 11

b )   w = 5   J

c )   i t = - 24,4 e - 100 t + 26,4 e - 600 t   A

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