As superfícies interna e externa de uma parede de tijolos x de de espessura e condutibilidade térmica igual a são mantidas a temperaura de e respectivamente. Determine a taxa de calor transferido através da parede em .
Passo 1
O exercício pede para determinar a taxa de calor que atravessa a parede. Mas o que exatamente isso significa? Vamos ilustrar o problema para facilitar o nosso entendimento.
A taxa de calor é o nome comum, que os exercícios dão para a derivada da energia que é transferida através da parede por condução em relação ao tempo.
Para achar esse valor, temos que lembrar a fórmula de condução responsável pelo seu cálculo: a lei de Fourier.
Por essa equação, podemos ver que para encontrar a taxa de calor que atravessa a parede precisamos primeiro achar o valor de três variáveis:
- A condutibilidade térmica
- A área onde a energia é trocada
- A derivada da temperatura em relação ao eixo ,
Para fazer isso, a gente precisa extrair dois tipos de informação presentes no enunciado: as informações claras e objetivas e os dados que estão escondidos e temos que interpretar nas entrelinhas. Vamos fazer essa identificação no próximo passo.
Passo 2
Vamos começar pelas informações mais claras:
- O enunciado diz que a condutibilidade térmica da parede formada por tijolos vale . Lembre-se que as unidades e são equivalentes. Logo, podemos usar esse valor na fórmula sem precisar converter.
- O valor da área também pode ser calculado rapidamente, mas ele não é informado diretamente como o . O tamanho da superfície de troca é mostrado, quando o enunciado diz as dimensões x da parede. Ou seja:
- A função das outras três informações ainda não está claramente definida. São elas:
- , a temperatura de uma superfície da parede
- , a temperatura da outra superfície da parede
- , a espessura da parede
- A direção do eixo
- Saber como a temperatura varia nesse eixo
As duas primeiras variáveis e , fundamentais para achar , já estão determinadas. Mas como calcular ?
Para essa tarefa, precisamos de dois dados que estão escondidos no enunciado:
Passo 3
O eixo é a única direção, em que a temperatura da parede varia. Mas como sabemos que essa simplificação de variação unidirecional da temperatura está sendo usada nesse caso?
Descobrimos isso, quando a questão diz que cada superfície da parede tem apenas uma temperatura. Uma superfície está a e outra a .
Ou seja, a temperatura de um ponto não varia dentro de uma mesma superfície. Ela só muda, quando a distância entre o ponto considerado e uma das superfície se altera.
Como essa distância só muda conforme caminhamos em uma direção perpendicular às superfícies, o eixo é uma reta perpendicular às superfícies.
Falta agora saber como a temperatura varia ao longo da direção . A única pista do enunciado são as duas temperaturas que ele fornece.
A única função, que pode ser totalmente definida com dois pontos, é uma reta. Por isso, deduzimos que a questão está considerando uma distribuição linear para a temperatura.
No fim, a derivada é igual à inclinação dessa reta!
Passo 4
Agora vamos calcular essa inclinação para determinar . Lembre-se de passar as unidades para o Sistema Internacional de Unidades (SI). Temos então que converter a espessura de centímetro para metro, antes de colocá-la na fórmula.
Passo 5
Essa etapa é só a substituição das três variáveis na lei de Fourier: