Um conjunto cilindro-pistão, contendo um vapor, perde de calor a cada segundo. Enquanto o vapor é resfriado, de taxa de energia saem do conjunto cilindro-pistão através da massa de vapor que vaza pela folga entre o pistão e o cilindro. Sabendo que o volume do pistão diminui a uma taxa constante de e que esse processo de resfriamento é isobárico a , determine a taxa de variação da energia do vapor.
Passo 1
O exercício pede para a gente determinar a taxa de variação da energia do vapor do cilindro-pistão . O primeiro passo para resolver essa questão é entender todas as informações do problema que o enunciado dá pra gente. Por isso, a figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular .
O da figura é a taxa de calor que sai do vapor. Como o vapor perde calor, essa taxa é negativa!
é a taxa de variação do volume do vapor. Ela é negativa, porque o volume do vapor diminui.
é a pressão do vapor durante o processo de resfriamento. é a taxa de energia que sai do conjunto cilindro-pistão por causa do vazamento de vapor.
Esses são todos os dados que a questão nos informa. Agora, vamos determinar quais equações nós usamos para calcular .
Passo 2
Quando o vapor perde calor e vaza, seu volume diminui. Isso significa que o vapor comprime e recebe uma taxa trabalho de movimento de fronteira . Como esse trabalho é isobárico, a quantidade de energia por trabalho que o vapor recebe , quando a fronteira se movimenta pode ser calculado pela seguinte fórmula.
é a variação de volume do vapor. No entanto, nós não sabemos quando vale nem . Então como fazemos para transformar essa fórmula em uma equação que tenha os dados informados pelo enunciado ( e ) e a taxa de trabalho precisamos achar ?
O primeiro passo para transformar a fórmula antiga é dividir todos os termos dessa equação pelo intervalo de tempo de duração processo .
O passo final é fazer o intervalo de tempo ficar cada vez menor. No limite, quando tende a zero, essas divisões viram derivadas! Ou seja, elas viram as taxas de variação em relação ao tempo!
No próximo passo poderemos finalmente aprender a calcular !
Passo 3
Como o conjunto cilindro-pistão está vazando vapor, sai massa dele. Ou seja, o conjunto cilindro-pistão forma um volume de controle, porque ele troca massa com o ambiente ao seu redor. Então para calcular a taxa de variação de energia do vapor, temos que usar a primeira lei para volumes de controle.
é a taxa de energia que entra no volume de controle por conta da entrada de massa no volume de controle. Como não existe vapor entrando no volume de controle, vale:
Já sabemos como achar todas as variáveis da fórmula da primeira lei. Então vamos começar a fazer as contas!
Passo 4
O prmeiro passo é calcular a taxa de trabalho realizado sobre o vapor de dentro do cilindro-pistão.
Podemos agora usar a primeira lei da termodinâmica para volume de controle.