Exercícios Resolvidos de Determinantes em Blocos

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Enunciado

Calcule a soma dos MÓDULOS dos autovalores da matriz

A = 3 2 0 0 - 4 - 3 0 0 0 0 - 7 - 5 0 0 10 8

a   9

b   5

c   3

d   7

Passo 1

Po, esse módulos acabou com a gente né? Se você só a soma dos autovalores era só acharmos o traço da matriz haha. Pra acharmos os autovalores basta igualarmos o determinante da matriz abaixo à zero.

det ⁡ 3 - λ 2 0 0 - 4 - 3 - λ 0 0 0 0 - 7 - λ - 5 0 0 10 8 - λ = 0

E como o exercício ta quase implorando pra resolvermos usando determinantes em blocos, vamos fazer isso! Podemos escrever nossa matriz dessa forma:

A = 3 - λ 2 0 0 - 4 - 3 - λ 0 0 0 0 - 7 - λ - 5 0 0 10 8 - λ = M 0 0 N

Onde:

det ⁡ A = det ⁡ M ∙ det ⁡ N = 3 - λ - 3 - λ + 8 ∙ - 7 - λ 8 - λ + 50 =

= λ 2 - 1 λ 2 - λ - 6 = λ - 1 λ + 1 λ 2 - λ - 6

Beleza, agora igualamos isso a 0 :

λ - 1 λ + 1 λ 2 - λ - 6 = 0

λ - 1 = 0 ⇒ λ = 1

λ + 1 = 0 ⇒ λ = - 1

λ 2 - λ - 6 = 0

λ = 3   o u   λ = - 2

Somando os módulos dos autovalores:

1 + 1 + 3 + 2 = 7

Resposta

Letra d