Suponha que o processo de chegada de mensagens na caixa de e-mail de uma pessoa segue uma lei de probabilidade de Poisson a uma taxa média de mensagens por semana. Para não gastar um tempo excessivo na leitura dos e-mails, ela estabeleceu para si mesma a regra de consultar a sua caixa apenas uma vez por dia e só ler os conteúdos se houver três ou mais novas mensagens à sua espera no dia. Como simplificação, admita que as chegadas de e-mails são independentes dia-a-dia. Se essa regra for seguida durante dias em uma dada semana, calcule as probabilidades de que:

a) em cada um dos dias ela não leia seus e-mails;

b) em pelo menos um dos dias ela não lerá seus e-mails.

Bom, o enunciado nos informou que a frequência de mensagens que chega na caixa de entrada da pessoa é de mensagens por semana. Mas, se uma semana útil tem dias, em média quantas mensagens chegam por dia?

mensagens/dia

Perfeito! Queremos aqui que a pessoinha não abra sua caixa de entrada, para isso devem ter menos de mensagens na sua caixa de entrada. Ou seja, devem ter mensagens, uma ou duas mensagens.

Assim, temos:

Usando que:

Com , teremos:

Essa é a probabilidade da pessoa não abrir a sua caixa de entrada em um único dia. Mas, como queremos que isso se repita durante os dias da semana, precisamos multiplicar essas probabilidades, uma para cada dia que ela não abre a caixa de entrada.

Logo:

Rapazzz, é um número beeeem baixo! Acho que ela vai abrir essa caixa de entrada sim hein haha!

Vamos agora para o item b).

Aqui precisamos calcular a probabilidade de, em pelo menos um dos dias ela não ler os seus emails. Ou seja, não queremos que ela leia os emails todos os dias.

Em probabilidade, sempre que não queremos que algo ocorra, podemos calcular sua probabilidade fazendo:

Assim, vamos calcular a probabilidade dela ler seu email todos os dias.

Para que em um dia, ela decida ler seu email, devem ter chegado ou mais mensagens.

Ou seja, para que ela decida ler, não queremos que tenham chegado ou menos mensagens.

Bom, se não queremos algo podemos dizer que a probabilidade dela ler seus emails em um dia vale:

Mas, calculamos no item anterior, e vale . Assim:

Como estamos calculando a probabilidade dela ler seu email todos os dias, precisamos que para cada dia essa probabilidade de leitura se repita. Assim:

Assim:

Essa é a probabilidade dela ler o seu email todos os dias da semana. Assim, a probabilidade dela não ler em pelo menos um dia, como havíamos falado antes, vale:

Prontinho gente! Matamos mais uma questãozinha, vocês curtiram? Responde Aí!