UFPE, Sem Campus, Estatística, 2° EE - 2018.1, Questão 2
Numa usinagem de peças metálicas milimétricas de alta precisão e exigindo contornos complexos, constatou-se que apenas delas atendiam as rigorosas especificações para uso adequado no sistema para o qual foram concebidas. O preço unitário da peça é de . Uma montadora deseja assinar um contrato para a produção e necessita de peças mensais. Tendo em vista saber das possíveis falhas decorrentes das dificuldades na fabricação, resolver estabelecer um contrato para lotes de peças mensais. Porém, estabelece as seguintes condições; C1) apenas as peças usinadas adequadamente são remuneradas em cada lote mensalmente recebido; C2) Caso o lote enviado contenha menos do que peças adequadas (peças nominais e uma pequena margem de folga), cabe uma multa contratual de para empresa fornecedora. Use como a variável aleatória para a contagem do número de peças que não atendem à especificação em um lote recebido.
a) Qual a distribuição desta variável aleatória?
b) Qual a probabilidade de que incida multa sobre um dado lote fabricado?
c) Qual o faturamento mensal esperado para a empresa fabricante das peças? Dica: Aproxime por uma distribuição mais conveniente para resolver o problema.
Passo 1
Fala aí pessoal tudo bem?
Nessa questão temos uma fábrica que produz peças super hiper ultra blast complexas. Por causa disso, das peças são fabricadas com perfeição, mas são fabricadas com defeito.
Daí, tem toda uma história sobre o contrato com uma montadora e etc, mas basicamente o que importa é o seguinte:
- A montadora solicita todo mês peças e paga por cada peça que está funcionando.
- Se menos de peças funcionarem, a fábrica é obrigada a pagar uma multa de .
Tranquilo?
Sobre esse contexto, é definida uma V.A , tal que, representa o número de peças que estão com defeitos.
Aí, começamos as perguntas. Precisamos identificar a distribuição de variável aleatória que representa . Depois precisaremos calcular a probabilidade de incidir a multa de reais. E, por fim, calcularemos o faturamento mensal esperado pela empresa. Sacou a ideia?
Vamos começar identificando a distribuição de variável aleatória de , e a partir daí revisamos a função de densidade acumulada para calcular a probabilidade.
Bora lá!
Passo 2
Então, vamos pensar um pouco. A V.A representa o número de peças fabricadas com defeito. Logo, é uma V.A discreta.
Vimos no passo que essa probabilidade é de . Ou seja, temos um experimento que acontece repetidas vezes, onde a probabilidade de “sucesso” (retirar uma peça com defeito) é de .
Isso lembra vocês de algo?
Simm, é justamente a distribuição binomial.
Segundo ela:
onde é o número de vezes que o experimento é realizado. é o número de vezes que ocorre “sucesso”. E, é a probabilidade de sucesso.
Maaas, já podemos responder o item a).
segue uma distribuição binomial!
Passo 3
Agora precisamos calcular a probabilidade de que a fábrica precise pagar a multa de .
Bom, para que incida a multa, precisamos ter menos do que peças funcionando corretamente em um lote de . Ou seja:
Precisamos, queremos calcular .
Puts, isso parece ser um problemão. Teríamos que fazer então:
Será que é isso?
Nãoooo, graças a Deus hahaha! Tem um truque bem importante aqui, que é a “Aproximação da Binomial pela Normal.” Quando temos uma distribuição binomial sobre uma variável em uma quantidade de experimentos muito grande, podemos aproximá-la por uma normal.
Para isso, basta fazermos:
Onde é o número de experimentos realizados e a probabilidade de “sucesso”.
Assim:
E, que:
Massa! Então, podemos aproximar essa distribuição binomial para a distribuição normal dada por .
Ainda queremos calcular . Normalizando a distribuição normal, temos:
A tabela dada é sobre:
Então, podemos usar que:
Assim, na tabela temos:
Então, vem:
Excelente! A probabilidade de incidir multa sob a fabricante é de ou . Acho que dá pra confiar então hein haha!
Passo 4
Pra finalizar a questão, vamos calcular o faturamento mensal esperado. Essa é a palavrinha chave gente: “esperado”. Isso nos remete ao valor esperado.
Então, pra fazer o cálculo desse faturamento, vamos antes calcular o valor esperado para e aí aplicamos as regras do contrato para mensurar o faturamento.
Tanto na distribuição binomial, como na distribuição binomial aproximada pela normal, temos que:
Que, como vimos no passo anterior:
Assim, esperamos que em cada lote peças sejam fabricadas com defeito.
Logo, a montadora deverá pagar apenas pelo restante das peças que funcionam corretamente:
Como , não há incidência de multa. E, coo cada peça custa temos:
É um dinheirinho bom né galera?!
Mas então foi isso gente, espero que vocês tenham curtido a solução!
Até a próxima 😊
Resposta
a) Distribuição Binomial
b) ou c)