O tempo (em milissegundos) até que uma reação química esteja completa é aproximado pela função de distribuição acumulada:

a) Que proporção de reação é completada dentro de milissegundos?

b) Calcule o valor esperado do tempo da reação química.

c) Considere que o tempo para completar todo o experimento seja uma função de dada por . Obtenha o tempo médio e a variância para completar todo o experimento.

Dica:

Pra começar, no item a) devemos calcular a proporção da reação completada quando milissegundos.

Então gente, pensa comigo, tudo que temos é a função de distribuição acumulada, que nos dá a probabilidade da reação ter sido completa nesse tempo.

Precisaremos trazer uma relação entre essa probabilidade e a proporção completada da reação. Nesse caso, não temos muitas opções a não ser considerar que essa probabilidade equivale justamente à proporção completa da reação.

Assim:

Como:

Temos:

Portanto, dizemos que a proporção da reação completa em milissegundos é de ou .

Massa! Agora vamos calcular o valor esperado do tempo da reação química. Para isso, fazemos:

onde:

Beleza! Começando pelo cálculo da função de densidade, temos:

Se , e consequentemente também igual a .

Usando que:

Temos:

Perfeito! Substituindo na expressão do valor esperado, teremos:

(O limite de integração inferior passou a ser , pois se temos ).

Essa é uma integral imprópria, logo:

Essa integral parece meio complicadinha de resolver né, gente? Bora usar o método das partes!

Fazendo:

Então:

Substituindo na expressão do método das partes, teremos;

Show! Voltando ao limite:

Quando tende a , todo termo tende a zero. Assim:

milissegundos

Ou seja, o valor esperado para que a reação seja concluída vale milissegundos.

Deu um trabalhinho bom nas contas, mas vocês conseguiram entender a essência do problema?

Pra finalizar, agora no item c) o problema mudou um pouco de contexto.

É dada uma nova variável que representa o tempo para que todo o experimento seja concluído, e é falado que:

Precisamos calcular e . Para fazer isso é importante relembrar algumas propriedades:

E, também que:

Perfeito!

Começando então pelo valor esperado, , temos:

Usando a nossa propriedade, temos:

Como calculamos no passo anterior, . Assim:

milissegundos

Boaaa! A primeira parte já foi!

Agora vamos para a variância:

Pela propriedade:

Nossa missão então é calcular .

Vamos revisar outra formulinha bem importante:

Já conhecemos o valor de , precisamos apenas calcular .

Pela definição de esperança, vamos ter:

A nossa função de densidade é a mesma que calculamos no item b), então:

Novamente, temos uma integral imprópria. Usando a sua definição, ficaremos com:

Perfeito! Vamos então calcular essa integral!

Temos a integral:

Podemos usar novamente o truque do método das partes.

Fazendo:

Como também vimos no passo , teremos:

Substituindo tudo no método das partes:

Mas, olha que interessante! A integral:

É justamente aquela que calculamos no item b) para a esperança de . E, temos que ela vale:

Assim, voltando em , temos:

Tá feio, mas vai melhorar.

Aplicando o limite vamos ter:

Novamente, todos os termos com irão zerar, e ficaremos apenas com:

Logo:

Assim:

Boaaa! Já tá acabando gente.

Lembrando que:

E que:

Temos:

Portanto:

Aí, agora é só correr pro abraço, pois:

E, é isso gente! A questão foi bem grandinha mesmo, mas terminamosss!

Vocês entenderam direitinho? Responde Aí!