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Exercícios Resolvidos de Divergentes

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Exercício 21345678910

Enunciado

Seja

F → x , y = x x 2 + y 2 α   i → + y x 2 + y 2 α   j →

Determine α para que F → seja solenoidal.

Passo 1

Não se assusta com esse “solenoidal”. Um campo ser solenoidal é simplesmente um campo vetorial que seu divergente vale 0 .

Ou seja:

d i v   F → = ∇ ∙ F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y = 0

Então, é só calcular o produto escalar e resolver a equação para encontrarmos α .

Então vamos lá!

Passo 2

Precisamos calcular as derivadas parciais:

∂ F 1 ∂ x = ∂ x x 2 + y 2 α ∂ x   e   ∂ F 2 ∂ y = ∂ y x 2 + y 2 α ∂ y  

Que parecem bem bizarras, mas saem pela regra do quociente, certo?

∂ x x 2 + y 2 α ∂ x = 1 ∙ x 2 + y 2 α - x ∙ 2 x ∙ α x 2 + y 2 α - 1 x 2 + y 2 α 2

= x 2 + y 2 α - 1 ∙ x 2 + y 2 - 2 α ∙ x 2 x 2 + y 2 2 α = x 2 + y 2 - 2 α ∙ x 2 x 2 + y 2 α + 1

Um algebrismo meio chato, mas por sorte, podemos repetí-lo para ∂ F 2 ∂ y , é só substituir o que é x por y e vice-versa. Aí temos:

∂ y x 2 + y 2 α ∂ y = x 2 + y 2 - 2 α ∙ y 2 x 2 + y 2 α + 1

Passo 3

Agora é somar e ver no que dá:

∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y = x 2 + y 2 - 2 α ∙ x 2 x 2 + y 2 α + 1 + x 2 + y 2 - 2 α ∙ y 2 x 2 + y 2 α + 1 = 2 x 2 + y 2 - 2 α x 2 + y 2 x 2 + y 2 α + 1

= 2 1 - α x 2 + y 2 α = 0 → 1 - α = 0 → α = 1

Tudo isso pra dar 1 no final, que raiva, né? haha

Resposta

1