8.10) Calcule v para t > 0, se o circuito está em regime permanente em t = 0-.

Passo 1

E aí galerinha!! Vamos resolver essa questão juntinhos, beleza??

Nosso circuito é mostrado abaixo:

Primeiro, precisamos achar o valor inicial da tensão v antes da chave comutar. Logo, para t

Se trata de um circuito em regime permanente CC, ok? E quando tratamos de circuitos CC o capacitor representa um circuito aberto, lembram disso?? Redesenhando então o circuito vamos achar o valor inicial de v:

Ficou fácil perceber que a tensão v é a tensão sobre o resistor de 10Ω, né?? Agora é só achar seu valor:

v 0 = 10 10 + 15 * 25 = 10 V

Passo 2

Agora, vamos representar o circuito após a comutação da chave, ou seja, para t > 0:

Definindo os sentidos das correntes e nomeando os nós temos:

Aplicando LKC nos dois nós:

i C - V B - V A 8 - 3 8 v 1 = 0 ⇒

C d v d t - 1 8 v 1 - v - 3 8 v 1 = 0 ⇒

C d v d t + v 8 - v 1 2 = 0       ( 1 )

v 1 - v 8 + 3 8 v 1 + v 1 2 = 0 ⇒

v 1 = v 8       ( 2 )

Substituindo (2) em (1):

C d v d t + v 8 - v 16 = 0 ⇒ C d v d t + v 16 = 0 ⇒ 1 8 d v d t + v 16 = 0 ⇒ x 8 d v d t + v 2 = 0       ( 3 ) Substituindo d v d t por λ em (3) temos:

λ + 1 2 = 0 ⇒ λ = - 1 2 Como para t > 0, o circuito não apresenta regime permanente, teremos somente a resposta transiente que é dada por:

v t = A e λ t

Basta encontrar o coeficiente A que matamos mais uma questão!! Para encontrá-lo, vamos utilizar a condição inicial para t = 0:

v 0 = 10 = A e - ( 0 2 ) ⇒ A = 10

Por fim, chegamos na equação de v(t):

v t = 10 e - t / 2   V

Prontinhooo, finalizamos essa! Bora pra mais uma??

Resposta

v t = 10 e - t / 2   V

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