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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 8

Calcule as seguintes integrais:

a)

I = int_(- 1)^3 (t^3 + 2) [ delta (t) + 8 delta (t - 1) ] d t

b)

I = int_(- 2)^2 t^2 [ delta (t) + delta (t + 1,5) + delta (t - 3) ] d t

Passo 1

Show de bola, galera! Vamos começar uma questão analítica que foge das figuras que vimos até agora. Vamos fazer cada letra em um passo, e já adianto que esta questão é bem curta, bastante direta ao ponto.

A ideia que usaremos aqui será a seguinte. Imagine os limites de integração como os extremos de um intervalo. Além disso, pense na função delta da seguinte maneira delta ( t - t_0 ) . Quando uma função é do tipo delta ( t ) , temos que t_0 = 0 . Assim, se t_0 in [ a , b ] , onde a e b são os limites inferior e superior, respectivamente, vamos calcular o valor do integrando substituindo a variável t por t_0 , como se tivéssemos uma função g (x) = x^2 + 3 e quiséssemos calcular g ( 1 ) . Caso t_0 !in [ a , b ] , o valor da integral vale zero.

Dito isso, vamos começar.

Passo 2

a)

Neste exemplo, temos dois valores de t_0 nas funções delta, delta ( t - t_0 ) , é prudente separarmos a integral em duas:

I = int_(- 1)^3 (t^3 + 2) (delta (t)) d t + int_(- 1)^3 (t^3 + 2) (8 delta (t - 1)) d t

Ambos os valores de t_0 , a saber, t_0 = 0 e t_0 = 1 , respectivamente. Assim, temos que, seguindo nosso raciocínio no Passo 1, f (t) = t^3 + 2 e g (t) = 8 * ( t^3 + 2 ) . Logo

I = f (0) + g (1) = [0^3 + 2] + [8 (1^3 + 2)] = 2 + 8 * 3

:. I = 26

Passo 3

b)

Já neste exemplo temos três valores de t_0 : t_0 = 0 , t_0 = - 1,5 e t_0 = 3 . Em todos os casos as funções são iguais, ou seja f ( t ) = g (t) = h (t) = t^2 , o que vai diferenciar cada uma delas é o ponto de escolha, mas lembre-se que esse é o último passo. Ainda falta o passo intermediário de saber se t_0 in [ - 2,2 ] . Vemos que para f e g essa condição é satisfeita, mas para h , 3 !in [ - 2,2 ] , logo a contribuição dessa função para o valor da integral é zero. Assim

I = int_(- 2)^2 t^2 delta (t) d t + int_(- 2)^2 t^2 delta (t + 1,5) d t + int_(- 2)^2 t^2 delta (t - 3) d t

I = f (0) + g (- 1,5) + 0 = 0^2 + (- 1,5)^2

:. I = 2,25

Resposta

a)

I = 26

b)

I = 2,25

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