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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 95

Dada a equação de estado a seguir, determine y_1 ( t ) e y_2 ( t ) .

overset(˙)(x) = [[[-,2,-,1],[2,-,4]]] x + [[[1,1],[4,0]]] [[[u,(,t,)],[2,u,(,t,)]]]

y = [[[-,2,-,2],[1,0]]] x + [[[2,0],[0,-,1]]] [[[u,(,t,)],[2,u,(,t,)]]]

Passo 1

Vamos usar como condições iniciais são zero. Aplicando a transformada de Laplace, temos:

X (s) = [[[s,+,2,1],[-,2,s,+,4]]]^(- 1) [[[1,1],[4,0]]] [[[(1)/(s)],[(2)/(s)]]]

X (s) = (1)/(s^2 + 6 s + 10) [[[s,+,4,-,1],[2,s,+,2]]] [[[3,//,s],[4,//,s]]]

X_1 = (3 s + 8)/(s ( (s + 3)^2 + 1^2 )) = (0,8)/(s) + (- 0,8 - 1,8)/((s + 3)^2 + 1^2)

X_1 = (0,8)/(s) - 0,8 (s + 3)/((s + 3)^2 + 1^2) + 0,6 (1)/((s + 3)^2 + 1^2)

Aplicando a transformada inversa, temos:

x_1 (t) = (0,8 - 0,8 e^(- 3 t) cos t + 0,6 e^(- 3 t) s e n t) u ( t )

Passo 2

Para X_2 , temos:

X_2 = (4 s + 14)/(s ( (s + 3)^2 + 1^2 ))

Abrindo em frações parciais, temos:

X_2 = (1,4)/(s) - 1,4 (s + 3)/((s + 3)^2 + 1^2) - 0,2 (1)/((s + 3)^2 + 1^2)

Aplicando a transformada inversa, temos:

x_2 (t) = (1,4 - 1,4 e^(- 3 t) cos t - 0,2 e^(- 3 t) s e n t) u (t)

Assim, os valores de y_1 (t) e y_2 ( t ) são:

y_1 (t) = - 2 x_1 (t) - 2 x_2 (t) + 2 u (t)

y_1 (t) = (- 2,4 + 4,4 e^(- 3 t) cos t - 0,8 e^(- 3 t) s e n t) u (t)

y_2 (t) = x_1 (t) - 2 u (t)

y_2 (t) = (- 1,2 - 0,8 e^(- 3 t) cos t + 0,6 e^(- 3 t) s e n t) u (t)

Resposta

Os valores são:

y_1 (t) = (- 2,4 + 4,4 e^(- 3 t) cos t - 0,8 e^(- 3 t) s e n t) u (t)

y_2 (t) = (- 1,2 - 0,8 e^(- 3 t) cos t + 0,6 e^(- 3 t) s e n t) u (t)

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