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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 14

A chave no circuito da Figura P8.14 esteve na posição a por um longo tempo. Em t = 0, ela passa instantaneamente para a posição b . Determine v 0 ( t ) para t ≥ 0 .

Passo 1

Faaaaala, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Para essa questãozinha aqui, devemos primeiro fazer a análise do circuito em questão:

Passo 2

Agora que já temos cenário do circuito, vamos analisar a sua resposta, para determinar a equação geral de v 0 ( t ) .

Para isso, basta fazermos a comparação entre os valores de α e   ω 0 : Se α 2 > ω 0 2 , o circuito é superamortecido. Se α 2 < ω 0 2 , o circuito é subamortecido. E se α 2 = ω 0 2 , o circuito é criticamente amortecido.

Sendo assim, calcularemos primeiro os valores de α e   ω 0 :

Para α , utilizaremos a fórmula: α = 1 2 R C . Porém, temos somente o valor de C. O valor de R deverá ser calculado da seguinte forma: R = v T i T

v T = - 10 i ϕ + i T 150 * 60 150 + 60

v T = - 10 - i T 150 210 + i T 9000 210

v T i T = 1500 + 9000 210 = 50   Ω

Substituindo esse valor na fórmula de α temos:

α = 1 2 ( 50 ) ( 8 * 10 - 6 ) = 1250   r a d / s

Já para ω 0 , como L e C foram dados no enunciado, temos que:

  ω 0 = 1 L C = 1 ( 51,2 * 10 - 3 ) ( 8 * 10 - 6 ) = 1562,5   r a d / s

Portanto, comparando os dois valores, podemos afirmar que α 2 < ω 0 2 , portanto, o circuito é subamortecido, e a equação geral de v 0 ( t ) é:

v 0 t = B 1 e - α t cos ⁡ ω d t + B 2 e - α t sin ⁡ ω d t

Passo 3

Para calcular ω d , faremos uso da seguinte fórmula:

ω d = ω 0 2 + α 2 = 1562,5 2 + 1250 2 = 937,5

Desse modo, com os valores de α e ω d calculados, temos que:

v 0 t = B 1 e - 1250 t cos ⁡ 937,5 t + B 2 e - 1250 t sin ⁡ 937,5 t

Passo 4

Em seguida, precisaremos determinar os valores de B 1 e de B 2 para chegarmos à resposta final. Porém, antes disso precisaremos determinar alguns valores e relações:

V 0 = 4000 10.000 50 = 20   V ;   I 0 = 0

Além disso, como esse circuito é subamortecido, precisaremos ainda do valor de i C ( 0 ) , uma vez que: d v 0 d t 0 = - α B 1 + ω d B 2 = i C 0 C

Desse modo, calcularemos i C 0 da seguinte maneira:

i C 0 = - i R 0 - i L 0 = - 20 50 = - 0,4   A

Passo 5

Para concluir a questão e determinarmos a expressão de v 0 t , encontraremos agora os valores de B 1 e B 2 .

Para B 1 , temos que:

v 0 0 = B 1 * V 0 =   B 1 20

B 1 = 20

Para B 2 :

d v 0 d t 0 = - α B 1 + ω d B 2 = i C 0 C

Portanto:

- 1250 20 + 937,5 B 2 = - 50 . 000     →     B 2 = - 26,67

Desse modo, podemos concluir que:

v 0 t = 20 e - 1 250 t cos ⁡ 937,5 t - 26,67 e - 1250 t sin ⁡ 937,5 t V ,   t ≥ 0

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

v 0 t = 20 e - 1250 t cos ⁡ 937,5 t - 26,67 e - 1250 t sin ⁡ 937,5 t V ,   t ≥ 0

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