Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 37

Para o circuito da Figura 8.85 , determine i ( t ) para t > 0 .

Passo 1

Vamos lá, galerinha! Da teoria de circuitos, sabemos que componentes como indutor e capacitor se comportam de maneiras diferentes dos resistores quando tem corrente circulando por eles. Para o capacitor, quando sob corrente por um longo tempo, o efeito causado no circuito é um circuito aberto; para o indutor, sob regime permanente, ele passa a funcionar como um curto-circuito. Assim, para o instante t = 0^- , o instante antes de t = 0 , nós temos o seguinte circuito equivalente:

Aplicando a lei das malhas nas duas malhas do circuito equivalente, temos:

  • Malha 1: - 45 + 6 (i_1 - i_2) + 15 = 0 ou i_1 - i_2 = 5
  • Malha 2: 18 i_2 - 6 i_1 = 0 ou i_1 = 3 i_2

Assim, substituindo o valor de i_1 encontrado na malha 2 , temos:

3 i_2 - i_2 = 5

2 i_2 = 5

i_2 = (5)/(2) A e i_1 = 3 ((5)/(2)) = (15)/(2) A

Assim, i (0) = i_1 = 2 , 5 A . A tensão v ( 0 ) pode ser calculada através da soma da fonte de tensão de 15 V com a queda de tensão no resistor de 6 Ω . Assim,

6 i_2 + 15 = v ( 0 )

v (0) = 15 + 6 (2,5)

v (0) = 30 V

Passo 2

Quando t > 0 , a chave de abre e passamos a ter um circuito RLC série. Mas de onde vem o resistor em série? Vamos fazer o equivalente!

O equivalente dos resistores é:

(1)/(R_e q) = (1)/(12) + (1)/(6)

R_e q = 4 Ω

Vamos agora encontrar as raízes características:

alpha = (R)/(2 L) = (4)/(2 ((1)/(2))) = 4

omega_0 = (1)/(sqrt(L C)) = (1)/(sqrt(((1)/(2)) ((1)/(8)))) = (1)/(sqrt(((1)/(16)))) = 4

Como os valores de alpha e omega_0 são iguais, temos a resposta natural com amortecimento crítico. Desse modo, podemos escrever a tensão da seguinte forma:

v (t) = V_s + [(A + B t) e^(- alpha t)] , o n d e V_s = 15 V

Para t = 0 , temos:

v (0) = 30 = 15 + A -> A = 15

Assim, ficamos com:

v (t) = 15 + [(15 + B t) e^(- 4 t)]

Passo 3

Por fim, precisamos encontrar o valor da corrente que passa pelo capacitor, uma vez que ela é a mesma que i ( t ) . Para isso, precisamos olhar para o circuito logo após a chave ser aberta. Nesse momento, a corrente que passa pelo indutor força aquela parte do circuito a agir como uma fonte de tensão e o capacitor como uma fonte de tensão. A corrente i_C é dada por:

i_c = C (d v)/(d t) = C [- 4 (15 + B t) e^(- 4 t)] + C [ (B) e^(- 4 t) ]

O circuito é dado por:

Portanto,

i_c (0) = - 7,5 = C [- 4 (15)] + C B

- 7,5 = C [- 60 + B]

- 7,5 = (1)/(8) [- 60 + B]

- 60 = - 60 + B -> B = 0

Assim, podemos escrever a corrente i_C como:

i_C = C (d v)/(d t) = ((1)/(8)) [- 4 (15) e^(- 4 t)] + ((1)/(8)) [(0) e^(- 4 t)]

i_C (t) = [- ((1)/(2)) (15) e^(- 4 t)]

Assim, a corrente i (t) é:

i (t) = - i_C (t) = 7,5 e^(- 4 t) A

Resposta

A corrente é igual a:

i (t) = 7,5 e^(- 4 t) A

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para o circuito da Figura 8.65, determine:(a) v 0 +ei ( 0 + ) (b) d v ( 0 + ) / d ted i ( 0 + ) / d t (c) v ∞ei ( ∞ )
Considere a Figura 8.63 e elabore um problema para ajudar outros estudantes a entenderem melhor como determinar os valores inicial e final.
Para o circuito da Figura abaixo, determine:(a) i L ( 0 + ) , v c ( 0 + ) e v R ( 0 + ) (b) d i L ( 0 + ) / d t , d v C ( 0 + ) / d t e d v R ( 0 + ) / d t (c) i L ( ∞ ) e v C ( ∞ ) e v R ( ∞ ) .
No circuito da Figura 8.67, determine:(a) v R 0 +ev L ( 0 + ) (b) d v R ( 0 + ) / d ted v L ( 0 + ) / d t (c) v R ∞ev L ( ∞ )
A resposta a um degrau de um circuito R L C é descrita por d 2 i d t 2 + 2 d i d t + 5 i = 10 Dado que i 0 = 2 e d i 0 d t = 4 , determine i ( t ) .