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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 23

Se a corrente que entra pelo terminal positivo de um elemento e

i   =   a   s e n   k t   A ,   t   >   0

=   0 ,   t   <   0

e a tensão e

v = b ∫ - ∞ t i d t   V

onde a ,   b ,   k   >   0 , mostre que a energia entregue ao elemento entre - ∞ e t   >   0 é

w   =   b a 2 2 k 2   ( c o s   k t   -   1 ) 2   J

e, portanto w ≥ 0 .

Passo 1

Falaaaa, galeraaaa! Vamos analisar o gráfico e utilizar:

- Da fórmula de potência: p = v ∙ i ;

- Da relação entre potência e energia: p = d w d t ⇒ w = ∫ 0 t p d t .

Passo 2

Primeiramente vamos obter a tensão nos limites de integração definidos no enunciado, como mostra a expressão abaixo:

v = b ∫ - ∞ 0 i d t + b ∫ 0 t i d t

v = b ∫ 0 t a s e n k t   d t

Integrando temos

v = - b a cos ⁡ ( k t ) k 0 t = - b a k [ cos ⁡ k t - cos ⁡ 0 ]

v = - b a k [ cos ⁡ k t - 1 ]

v = b a k [ 1 - cos ⁡ k t ]

Passo 3

Agora vamos obter a expressão para a potência.

Temos que

p = v ∙ i

p = b a k a s e n k t - b a k a ∙ s e n k t ∙ cos ⁡ ( k t )

p = b a 2 k s e n k t - b a 2 k s e n k t ∙ cos ⁡ ( k t )

p = b a 2 k [ s e n k t - s e n k t ∙ cos ⁡ k t ]

Passo 4

A energia

w = ∫ 0 t p d t = ∫ 0 t b a 2 k s e n k t d t - ∫ 0 t b a 2 k s e n k t cos ⁡ ( k t ) d t

w = b a 2 k ∫ 0 t s e n k t d t - b a 2 k ∫ 0 t s e n k t cos ⁡ ( k t ) d t

w = b a 2 k [ - 1 k cos ⁡ k t ] 0 t - b a 2 k ∫ 0 t s e n k t cos ⁡ ( k t ) d t

Observe que:

s e n a ± b = s e n a cos ⁡ ( b ) ± s e n ( b ) cos ⁡ ( a )

cos ⁡ ( a ± b ) = cos ⁡ ( a ) cos ⁡ ( b ) ± s e n a s e n ( b )

s e n 2 a + cos 2 ⁡ ( b ) = 1

s e n A + A = s e n A cos ⁡ A + s e n A cos ⁡ A

s e n 2 A = 2 s e n A cos ⁡ ( A )

s e n A cos ⁡ ( A ) = s e n ( 2 A ) 2

Assim, podemos reescrever a expressão

w = b a 2 k [ - 1 k cos ⁡ k t ] 0 t - b a 2 k ∫ 0 t s e n k t 2 d t

Passo 5

Agora, vamos continuar simplificando e manipulando a expressão da energia

w = - b a 2 k 2 [ cos ⁡ k t - cos ⁡ ( 0 ) ] - b a 2 k ∫ 0 t s e n k t 2 d t

w = - b a 2 k 2 [ cos ⁡ k t - 1 ] - b a 2 2 k [ - 1 2 k cos ⁡ 2 k t ] 0 t

w = b a 2 k 2 - b a 2 k 2 cos ⁡ k t + b a 2 4 k 2 cos ⁡ 2 k t - b a 2 4 k 2

Observe que:

cos ⁡ A + A = cos ⁡ A cos ⁡ A - s e n A s e n A

cos ⁡ ( 2 A ) = cos 2 ⁡ ( A ) - s e n 2 ( A )

w = b a 2 k 2 - b a 2 k 2 cos ⁡ k t + b a 2 4 k 2 cos 2 ⁡ 2 k t - b a 2 4 k 2 s e n 2 k t - b a 2 4 k 2

Observe que:

cos 2 ⁡ ( A ) + s e n 2 A = 1

s e n 2 A = 1 - cos 2 ⁡ ( A )

w = b a 2 k 2 - b a 2 k 2 cos ⁡ k t + b a 2 4 k 2 cos 2 ⁡ 2 k t + b a 2 4 k 2 cos 2 ⁡ ( k t ) - b a 2 4 k 2 - b a 2 4 k 2

Devemos continuar organizando e simplificando a expressão

w = b a 2 k 2 - b a 2 k 2 cos ⁡ k t + 2 b a 2 4 k 2 cos 2 ⁡ 2 k t - 2 b a 2 4 k 2

w = b a 2 k 2 - b a 2 k 2 cos ⁡ k t + b a 2 2 k 2 cos 2 ⁡ 2 k t - b a 2 2 k 2

w = b a 2 2 k 2 [ cos ⁡ k t - 1 + 2 - 2 cos ⁡ k t ]

w = b a 2 2 k 2 [ cos 2 ⁡ k t - 1 - 2 cos ⁡ k t ]

Por fim obtemos

w = b a 2 2 k 2 ( cos 2 ⁡ k t - 1 ) 2   J

Prontinho!

Resposta

A demonstração completa pode ser vista nos passos.

w = b a 2 2 k 2 ( cos 2 ⁡ k t - 1 ) 2   J