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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 48

Dado o circuito da Figura 8.95 , determine i ( t ) e v ( t ) para t > 0 .

Passo 1

Galerinha, vamos lá. No momento t = 0^- , o momento antes da chave fechar, nós temos o circuito sendo alimentado por uma fonte de corrente, em regime permanente. Sabemos que, sob esse regime, o indutor se comporta como um fio e o capacitor como um circuito aberto. Assim, a corrente que passa pelos resistores de 2 Ω e 1 Ω é a mesma que passa pelo indutor e a tensão v ( 0 ) será:

i (0) = - (6)/(1 + 2) = - 2 A ( s e n t i d o c o n t r á r i o )

v (0) = 2 xx 1 = 2 V

Passo 2

Quando t > 0 , a chave é fechada e o resistor de 2 Ω e a fonte de tensão são curto-circuitadas, restando apenas um circuito RLC paralelo sem fontes. Logo, a próxima coisa que podemos começar a fazer é analisar os valores de alpha e omega_0 e achar as raízes características:

alpha = (1)/(2 R C) = (1)/(2 (1) (1 // 4)) = 2

omega_0 = (1)/(sqrt(L C)) = (1)/(sqrt((1) (1 // 4))) = 2

Como temos que alpha = omega_0 , a resposta do circuito é amortecida crítica.

s_1,2 = - alpha +- sqrt(alpha^2 - omega_0^2) = - 2

Portanto, a equação da nossa corrente será da forma:

i (t) = [(A + B t) e^(- 2 t)]

Para o instante inicial t = 0 , o enunciado já nos forneceu o valor da corrente! Assim, substituindo na expressão acima t = 0 , obtemos:

i (0) = - 2 = A

A = - 2

A mesma análise inicial também foi feita para a tensão. Sabemos que, em t = 0 , v (0) = 2 V . Como temos nossos três elementos do circuito em paralelo, todos eles estão sob a mesma tensão, ou seja

v_R = v_L = v_C = v

Portanto, podemos escrever o seguinte:

v (0) = 2 = L (d i (0))/(d t)

Vamos calcular a derivada da corrente?

(d i)/(d t) = [B e^(- 2 t)] + [- 2 (- 2 + B t) e^(- 2 t)]

Quando t = 0 ,

(d i (0))/(d t) = 2 = B + 4

B = - 4 + 2

B = - 2

Como todos os componentes estão em paralelo, a tensão v é a mesma tensão em cima do indutor. Portanto,

v = v_L = L (d i)/(d t)

v = 1 {[B e^(- 2 t)] + [- 10 (A + B t) e^(- 2 t)]}

v = - 2 e^(- 2 t) + [- 2 (- 2 - 2 t) e^(- 2 t)]

v = [ (2 + 4 t) e^(- 2 t) ] V

Já a corrente:

i (t) = [(- 2 - 2 t) e^(- 2 t)] A

Resposta

Os valores para v ( t ) e i ( t ) é:

v = [ (2 + 4 t) e^(- 2 t) ] V

i (t) = [(- 2 - 2 t) e^(- 2 t)] A

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No circuito da Figura 8.104 , a chave se encontra na posição 1 há um longo tempo, porém, muda para a posição 2 em t = 0 . v 0 + , d v 0 + d t v t para t ≥ 0 .
Para o circuito da Figura 8.101 , detemrine v ( t ) para t0 . Suponha v 0 + = 4V e i 0 + = 2A .
Para o circuito do problema 8.5 , determine i e v pata t0 .
Se a chave na figura 8.103 se encontrar desligada há um longo tempo antes de t = 0 , porém é aberta em t = 0 , determine:A equação característica do circuito. i X e v R para t0 .
Obtenha i 1 e i 2 para t0 no circuito da Figura 8.106 .