Enunciado

Determine v ( t ) para t > 0 no circuito da figura.

Passo 1

Em t < 0 temos a chave fechada e o circuito em regime permanente. Nesse caso, o capacitor age como um circuito aberto e o indutor, como um curto circuito.

Passo 2

Observando a figura, vemos que i ( 0^- ) = i_o porque temos toda a corrente da fonte passando por um curto circuito.

Como não pode haver mudança repentina na corrente de um indutor, temos:

i ( 0^- ) = i ( 0^+ ) = i_o

Observando a figura, também conseguimos concluir que v ( 0^- ) = 0 e como no capacitor não pode haver mudança repentina na tensão, então:

v ( 0^- ) = v_o ( 0 ) = v ( 0^+ )

Passo 3

Em t > 0 a chave abre, então, aqui, vamos representar esse momento já em domínio de Laplace (s):

Passo 4

Aplicando a análise nodal no nó de cima e isolando V ( s ) , teremos:

(V ( s ))/(s L) + (i_o)/(s) + (V ( s ))/((1)/(s C)) = 0

V ( s ) [(1)/(s C) + s C] = - (i_o)/(s)

V ( s ) [(1 + s^2 L C)/(s L)] = - (i_o)/(s)

V ( s ) = - (i_o L)/(1 + s^2 L C)

Passo 5

Pra finalizar, vamos aplicar a inversa utilizando nossas fórmulas de Laplce:

e^(- a t) f ( t ) harr F ( s + a )

u ( t ) harr (1)/(s)

t harr (1)/(s^2)

e^(- a t) c o s omega t harr (s + a)/(( s + a )^2 + omega^2)

e^(- a t) s i n omega t harr (omega)/(( s + a )^2 + omega^2)

Vamos lá:

ℒ^(- 1) [V ( s )] = ℒ^(- 1) [- (i_o L)/(1 + s^2 L C)]

ℒ^(- 1) [V ( s )] = ℒ^(- 1) [- (i_o L)/(L C (s^2 + (1)/(L C)))]

ℒ^(- 1) [V ( s )] = ℒ^(- 1) [- (i_o L)/(sqrt(L C)) [((1)/(sqrt(L C)))/(s^2 + ((1)/(sqrt(L C)))^2)]]

v ( t ) = - (i_o L)/(sqrt(L C)) s i n ((t)/(sqrt(L C))) u ( t ) V

v ( t ) = - i_o sqrt((L)/(C)) s i n ((t)/(sqrt(L C))) u ( t ) V , AA t > 0

Resposta

v ( t ) = - i_o sqrt((L)/(C)) s i n ((t)/(sqrt(L C))) u ( t ) V , AA t > 0

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Determine v o ( t ) , para todo t0 , no circuito da figura.
Considere o circuito da figura e determine i ( t ) para t0 .
Considere o circuito da figura e determine i ( t ) e v ( t ) para t0 .
Determine i ( t ) para t0 no circuito da figura:
Determine a tensão de saída v o ( t ) no circuito da figura.