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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 49

Determine i_o ( t ) para t > 0 no circuito na figura.

Passo 1

Vamos começar passando os elementos para o domínio de Laplace e desenhando o circuito para t < 0 (regime permanente) para facilitar a visualização:

Note que em regime permanente o indutor é um curto circuito e o capacitor é um circuito aberto.

Então, temos as condições iniciais:

i_L ( 0 ) = - 1 A

v_o = - 1 V

v_c ( 0 ) = 2.5 V

Passo 2

Com isso, temos o circuito já com as condições iniciais para t > 0 :

Passo 3

Fazendo então a lei das malhas na malha 1:

(- 5)/(s + 2) + (2 + (1)/(s)) I_1 - (1)/(s) I_2 + (2.5)/(s) + (V_o)/(2) = 0

E depois na malha 2:

(1 + s + (1)/(s)) I_2 - (1)/(s) I_1 + 1 - (V_o)/(2) - (2.5)/(s) = 0

Como, V_o = I_o = I_2 e resolvendo o sistema, chegaremos numa expressão:

I_o = I_2 = (- 2 s^2 + 13)/(( s + 2 ) ( 2 s^2 + 2 s + 3 )) = (A)/(s + 2) + (B s + C)/(2 s^2 + 2 s + 3)

Passo 4

Separando em frações parciais teremos:

I_o = I_2 = (- 2 s^2 + 13)/(( s + 2 ) ( 2 s^2 + 2 s + 3 )) = (A)/(s + 2) + (B s + C)/(2 s^2 + 2 s + 3)

Agora basta encontrar A , B e C :

A = 0.7143

B = - 3.429

C = 5.429

Daí, substituindo, teremos:

I_o = (0.7143)/(s + 2) - (1.7145 s - 2.714)/(s^2 + s + 1.5)

Por Laplace utilizando a tabela de transformadas, teremos:

i_o ( t ) = [ 0.7143 e^(- 2 t) - 1.71545 e^(- 0.5 t) c o s ( 1.25 t ) + 3.194 e^(- 0.5 t) s i n ( 1.25 t )_ ] u ( t ) A .

Resposta

i_o ( t ) = [ 0.7143 e^(- 2 t) - 1.71545 e^(- 0.5 t) c o s ( 1.25 t ) + 3.194 e^(- 0.5 t) s i n ( 1.25 t )_ ] u ( t ) A .

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