Determine v ( t ) nas seguintes equações integro-diferenciais usando o método de fasores:

  1. v t + ∫ v d t = 10 cos ⁡ t
  2. d v d t + 5 v t + 4 ∫ v d t = 20 s e n ( 4 t + 10 ° )

Passo 1

Gente, atentemos para duas coisas rápidas aqui: integrar no tempo é equivalente a dividir por j ω no domínio dos fasores e derivar em relação ao tempo é equivalente a multiplicar por j ω . Com isso em mente, vamos analisar nossa equação da letra (b):

d v d t + 5 v t + 4 ∫ v d t = 20 s e n ( 4 t + 10 ° )

Vamos primeiro passar 20 s e n ( 4 t + 10 ° ) para forma de fasor! Para isso, podemos fazer uso das seguintes relações:

A ∠ B ° = A cos ⁡ ( ω t + B ° )

A ∠ ( B ° - 90 ° ) = A sen ⁡ ( ω t + B ° )

Assim, podemos escrever:

j ω V + 5 V + 4 V j ω = 20 ∠ - 8 0 °

4 j V + 5 V - j V = 20 ∠ - 80 °

5 + 3 j V = 20 ∠ - 80 °

V = 2 0 ∠ - 80 ° 5 + 3 j

Passo 2

Passando para a forma polar o fasor que está no denominador:

5 + 3 j = M ∠ θ

M = ( 5 ) 2 + 3 2 = 5,83

θ = tan - 1 ⁡ 3 5 = 30,96 °

Logo,

V = 20 ∠ - 80 ° 5,83 ∠ 30,96 °

V = 3,43 ∠ - 110,96 °

Convertendo o resultado para o domínio do tempo:

v t = 3,43 cos ⁡ ( 4 t - 110,96 ° )

Resposta

O valor de v ( t ) é igual a:

v t = 3,43 cos ⁡ ( 4 t - 110,96 ° )

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