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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 13

Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:

a)

f t = 20 e - 500 t - 10 u t - 10

b)

f t = 5 t + 20 u t + 4 - u t + 2 - 5 t u t + 2 - u t - 2 + 5 t - 20 u t - 2 - u t - 4 .

Passo 1

Faaaaaaaaaaaaaaala, sobreviventes do apocalipse universitário! Tudo certinho? Pois bem, vamos começar essa questão lembrando da seguinte propriedade das transformadas:

  • Se a função que estiver multiplicando a função degrau for uma constante, eu posso calcular sua transformada independentemente do valor da constante, ou seja, só vou me preocupar em saber a exponencial de t 0 .
  • Se a função não for constante, então eu tenho que arrumar uma maneira de deixar a função f ( t ) parecida com f ( t - t 0 ) para poder usar a propriedade do deslocamento no tempo.

Além disso, a transformada que iremos usar nesta questão será

L f t - t 0 u t - t 0 = e - t 0 ⋅ s F ( s )

Dito isto, vamos começar a resolução.

Passo 2

a)

A nossa função é

f t = 20 e - 500 t - 10 u t - 10

Já podemos ver de cara que o termo ( t - 10 ) está tanto na função degrau quando na função que multiplica o degrau. Assim, o que vamos fazer é considerar uma função com uma variável diferente, digamos x :

f x = 20 e - 500 x

e vamos calcular a transformada dessa função, que seria

L f x = 20 ⋅ 1 s + 500

Agora, aplicando a propriedade da translação, vamos multiplicar essa transformada pela exponencial e - 10 s , com isso

L f t = 20 e - 10 s s + 500

Passo 3

b)

Neste item vamos ter os dois tipos de função comentados no Passo 1, sendo assim, vamos ter que separar cada um dos termos o que vai dar 10 funções degrau para analisarmos. Vamos usar um passo para cada termo e no final nós juntamos as 3 respostas para que possamos ter uma melhor compreensão

Passo 4

A primeira parte vai ser composta pela parcela 5 t + 20 [ u t + 4 - u ( t + 2 ) ] . Separando, teríamos

5 t ⋅ u t + 4 - 5 t ⋅ u t + 2 + 20 ⋅ u t + 4 - 20 ⋅ u ( t + 2 )

Os dois últimos termos são constantes, então as transformadas deles são simples. Agora teremos que fazer uma manipulação algébrica para trabalharmos com os dois primeiros. Vamos somar e subtrair 4 no primeiro termo:

5 t ⋅ u t + 4 = 5 t + 4 - 4 ⋅ u t + 4 = 5 t + 4 ⋅ u t + 4 - 5 ⋅ 4 ⋅ u ( t + 4 )

⇒ 5 t ⋅ u t + 4 = 5 t + 4 ⋅ u t + 4 - 20 ⋅ u ( t + 4 )

Agora vamos somar e subtrair 2 no segundo termo:

- 5 t ⋅ u t + 2 = - 5 t + 2 - 2 ⋅ u t + 2 = - 5 t + 2 ⋅ u t + 2 - 5 ⋅ ( - 2 ) ⋅ u ( t + 2 )

⇒ 5 t ⋅ u t + 2 = 5 t + 2 ⋅ u t + 2 + 10 ⋅ u ( t + 2 )

Juntando agora todos os termos, vamos ter

5 t ⋅ u t + 4 - 5 t ⋅ u t + 2 + 20 ⋅ u t + 4 - 20 ⋅ u ( t + 2 )

= 5 t + 4 ⋅ u t + 4 - 20 ⋅ u t + 4 + 5 t + 2 ⋅ u t + 2 + 10 ⋅ u ( t + 2 ) + 20 ⋅ u t + 4 - 20 ⋅ u t + 2

= 5 t + 4 ⋅ u t + 4 - 5 t + 2 ⋅ u t + 2 - 1 0 ⋅ u ( t + 2 )

Passo 5

Vamos olhar a segunda parcela - 5 t u t + 2 - u t - 2 . Neste termo não há constantes multiplicando a função degrau. Além disso, o sinal negativo já foi incluído para não haver confusão na hora de juntar as 3 parcelas iniciais. Assim

- 5 t u t + 2 - u t - 2 = - 5 t ⋅ u t + 2 + 5 t ( u t - 2 )

Somando e subtraindo 2 no primeiro termo, obtemos

- 5 t ⋅ u t + 2 = - 5 t + 2 - 2 ⋅ u t + 2 = - 5 t + 2 ⋅ u t + 2 - 5 ⋅ ( - 2 ) ⋅ u t + 2

Somando e subtraindo 2 no segundo termo, obtemos

5 t ⋅ u t - 2 = 5 t + 2 - 2 ⋅ u t - 2 = 5 t - 2 ⋅ u t - 2 + 5 ⋅ 2 ⋅ u t - 2

Assim, juntando os dois termos, vamos obter

- 5 t u t + 2 - u t - 2 =

- 5 t + 2 ⋅ u t + 2 + 10 ⋅ u t + 2 + 5 t - 2 ⋅ u t - 2 + 10 ⋅ u t - 2

Passo 6

E finalmente vamos para a última parcela que é

5 t - 20 u t - 2 - u t - 4

= 5 t ⋅ u t - 2 - 5 t ⋅ u t - 4 - 20 ⋅ u t - 2 + 20 ⋅ u ( t - 4 )

Novamente, vamos somar e subtrair 2 no primeiro termo, além de somar e subtrair 4 no segundo termo:

5 t ⋅ u t - 2 = 5 t + 2 - 2 ⋅ u t - 2 = 5 t - 2 ⋅ u t - 2 + 5 ⋅ 2 ⋅ u t - 2

e

- 5 t ⋅ u t - 4 = - 5 t + 4 - 4 ⋅ u t - 4 = - 5 t - 4 ⋅ u t - 4 - 5 ⋅ 4 ⋅ u t - 4

Logo, podemos escrever a última parcela como sendo

5 t - 20 u t - 2 - u t - 4

= 5 t - 2 ⋅ u t - 2 + 10 ⋅ u t - 2 + [ - 5 t - 4 ⋅ u t - 4 - 20 ⋅ u t - 4 ]   - 20 ⋅ u t - 2 + 20 ⋅ u ( t - 4 )

= 5 t - 2 ⋅ u t - 2 - 5 t - 4 ⋅ u t - 4 - 10 ⋅ u t - 2

Passo 7

Finalmente, vamos juntar as 3 parcelas para ver se conseguimos cancelar algum termo:

f t = 5 t + 4 ⋅ u t + 4 - 5 t + 2 ⋅ u t + 2 - 10 ⋅ u t + 2 + - 5 t + 2 ⋅ u t + 2 + 10 ⋅ u t + 2 + 5 t - 2 ⋅ u t - 2 + 10 ⋅ u t - 2 + 5 t - 2 ⋅ u t - 2 - 5 t - 4 ⋅ u t - 4 - 10 ⋅ u t - 2 Tá, admito que a resposta ficou grande, mas vamos simplificar. Eu simplifico aqui e você simplifica aí no papel e depois vamos ver se chegamos no mesmo resultado, ok?

A simplificação vai fazer com que os termos “constantes” se cancelem, sobrando apenas os termos com variáveis. Logo

f t = 5 t + 4 ⋅ u t + 4 - 10 t + 2 ⋅ u t + 2 + 10 t - 2 ⋅ u t - 2 - 5 t - 4 ⋅ u t - 4

Apesar da resposta parecer grande, a transformada será bem pequena, eu garanto, e vai ser, aplicando a propriedade do deslocamento:

F s = 5 e 4 s s 2 - 10 e 2 s s 2 + 10 e - 2 s s 2 - 5 e - 4 s s 2

Ufa! Depois de tanto trabalho, tomara que a gente ainda consiga fazer uma refeição no Refeitório Universitário!

Resposta

F s = 5 e 4 s s 2 - 10 e 2 s s 2 + 10 e - 2 s s 2 - 5 e - 4 s s 2

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