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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 23

Obtenha v (t) para t > 0 no circuito da figura

Passo 1

Acho interessante começar esse problema já considerando que a chave já está conectada ao B por um tempinho já, então o circuito se resume ah...

Onde Esse v (t) aí é quem devemos encontrar. Bora Resolver esse circuito então?

Passo 2

Da para perceber que pela lei das malhas, teremos...

v (t) + 4 (d i (t))/(d t) = 0

Onde...

v (t) = (1)/(C) int i (t) d t = int i (t) d t

Derivando essa segunda equação uma vez...

v^' (t) = i (t)

Concluímos então que temos duas equações a se resolverem aqui:

v (t) + 4 (d i (t))/(d t) = 0

v^' (t) = i (t)

Passo 3

Beleza, então agora vamos resolvê-las aplicando a transformada de Laplace (nas duas equações)...

L {v (t) + 4 (d i (t))/(d t)} = 0

L {v^' (t)} = L {i (t)}

Ora, lembrando-se das Laplaces das derivadas...

V (s) + 4 (s I (s) - i (0)) = 0

s V (s) - v (0) = I (s)

Perceba então que temos que encontrar essas condições iniciais. Para isso, vamos utilizar aquelas informações lá sobre a chave no tempo t = 0 !

Passo 4

Bem, no tempo t = 0 , a chave fecha em B , mas ainda não se desconecta de A ...

No t = 0^- , observando que tanto a bobina e o capacitor estão em paralelo...

  • Bobina é um curto o que implica em...

    • v (0^-) = 0

  • A corrente na Bobina é então...

i (0^-) = (90)/(10) = 9 A

Após a abertura da chave (t = 0) , esses valores continuam já que a bobina não sofre variações bruscas de corrente e quanto ao capacitor, de tensão:

v (0) = 0

E

i (0) = 9 A

Passo 5

Voltando então para as equações...

V (s) + 4 (s I (s) - i (0)) = 0

s V (s) - v (0) = I (s)

Ganharemos essas daqui...

V (s) + 4 (s I (s) - 9) = 0

s V (s) = I (s)

Substituindo a corrente da segunda na primeira equação...

V (s) + 4 (s^2 V (s) - 9) = 0 ->

V (s) + 4 s^2 V (s) - 36 = 0 ->

(V (s))/(4) + s^2 V (s) - 9 = 0 ->

Isolando V (s) ...

V (s) ((1)/(4) + s^2) - 9 = 0 ->

V (s) = (9)/(s^2 + (1)/(4)) ->

Esse cara se parece com a Laplace de seno, mas falta fazer uma jogada...

V (s) = 18 ((1)/(2))/(s^2 + ((1)/(2))^2) ->

Prontinho! Podemos agora calcular a inversa encontrando o v (t) :

v (t) = 18 sin ((1)/(2) t)

Resposta

v (t) = 18 sin ((1)/(2) t)

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