Considere a equação de Laplace em coordenadas polares no domínio ( é dado pelo plano menos o disco de raio ), com condição de contorno definida abaixo.
- Aplique separação de variáveis na equação e encontre as EDOs associadas ao problema acima.
- Encontre a solução limitada do problema.
Passo 1
a)
Bom, vamos utilizar o mesmo método de sempre. Devemos encontrar uma solução do tipo . Como essa solução deve satisfazer a Equação de Laplace, temos que:
Colocando em evidência, temos que:
Assim, passando para a esquerda e para a direita, encontramos:
Como essa igualdade vale para todo e para todo , essas razões devem ser iguais a uma constante.
Vamos ter que resolver então as duas equações diferenciais:
Passo 2
Agora vamos analisar 3 casos para os valores de :
Caso 1:
Se, então ele pode ser escrito da seguinte forma:
Assim:
A equação característica é
E portanto a solução vale:
Se você não lembra disso, não se preocupe, basta revisar os capítulos anteriores.
Continuando na resolução do problema, observamos que não temos uma função trigonométrica, e portanto esta função apenas será periódica de período 2 se . Como esta é a solução trivial, não pode ser negativo.
Caso 2:
Para
Assim,
Para que esta função seja periódica, deve ser igual a zero, e portanto temos que , ou seja , é uma função constante. Lembra que falamos no início que função constante é válida como solução de
Agora vamos analisar na equação de . Com a equação ficará da seguinte forma:
Essa é uma equação de Euler ( não precisa ficar assustado rs). A solução dessa equação vale:
Gurde esse resultado. Daqui a pouco vamos analisar novamente para o caso em que
Caso 3:
Se , então ele pode ser escrito da forma: . Substituindo nas equações diferenciais:
A primeira equação é uma equação de Euler ( novamente, não se assustem!). A solução dessa equação é:
A equação de é mais tranquila não é mesmo? Já estamos acostumados a resolvê-la. Sua solução vale:
Porém deve ser periódica de período 2. E quando isso vai acontecer?
Devemos ter que . Para que isso aconteça é necessário que seja um inteiro positivo .
Passo 3
Agora que já sabemos quais são as soluções para cada valor de , devemos analisar o que foi dito no problema. Observe que foi dito que está bem definida e é limitada para , ou seja, para todo, inclusive no infinito e portanto é limitada quando . Isso vai nos ajudar, e muito!
Primeiramente vamos analisar a equação de encontrada para λ=0:
Quando , então o termo tende a infinito. Porém, vimos que é limitada no infinito. Assim, obrigatoriamente, Como foi encontrado par que ela será constante para e também é uma constante, então as soluções fundamentais para , valem:
Agora vamos analisar a seguinte equação encontrada para λ>0:
Como é limitada, então também deve ser. Assim, como μ é um número inteiro positivo, quando o termo , o que não pode acontecer. Assim, obrigatoriamente, deve ser igual a zero. Já tínhamos encontrado as soluções de que vale:
Portanto, as soluções fundamentais valem:
Substituindo:
Passo 4
Assumimos que pode ser escrita como uma combinação linear de soluções fundamentais. Assim:
Ufa, estamos quase chegando ao fim. Agora basta apenas determinar os coeficientes da série de Fourier. Para isso, vamos utilizar uma informação que é dada no problema:
Substituindo por, temos que:
Passo 5
Mas veja que para essa série ser igual a função temos que respeitar as duas condições abaixo:
Assim concluímos que: