Considere a equação de Laplace em coordenadas polares no domínio ( é dado pelo plano menos o disco de raio ), com condição de contorno definida abaixo.
- Aplique separação de variáveis na equação e encontre as EDOs associadas ao problema acima.
- Encontre a solução limitada do problema.
Passo 1
Primeiro, vamos tentar entender a região . Temos a desigualdade , mas a equação do círculo é , onde é o seu raio. Assim, a região é aquela com todos os pontos fora da circunferência de raio e no mesmo plano dela.
Beleza? Com isso em mente, vamos começar a resolver. A letra pede para separarmos as variáveis. Como estamos usando coordenas polares, então temos a função . Então esperamos funções:
Limitada e diferente de zero (solução não-trivial) para a região. Além disso, precisamos que a função seja -periódica, já que estamos tratando de um círculo, e num círculo a história se repete após uma volta completa.
Beleza, vamos substituir isso na agora, lembrando que significa que estamos derivando duas vezes em relação e , por exemplo e que , só dependem de e , respectivamente:
Isolando as duas funções:
Em que esse é uma constante qualquer. Dessa maneira, as EDO’s do problema são:
E isso é tudo que a letra queria desse coração ferido.
Passo 2
Beleza, agora o problema quer a solução. Ou seja, o jogo começa agora! Para começar o processo, vamos testando valores possíveis para o e suas soluções. Então vamos lá. Começamos com o mais simples, o . Neste caso, ficamos com:
Ou seja, estamos procurando uma função que se anula na segunda derivada. Bem, veja que para uma reta , temos:
Então, uma reta nessa forma é uma boa solução para o problema. Só que, precisamos que , seja periódica, como vimos no passo . Dessa maneira, precisamos que , para que tenhamos uma constante, que é periódica sempre.
Certo, então definimos:
Para o caso de . Vamos ver agora para a segunda EDO:
Ou seja:
Como , já que estamos sempre fora do circulo:
Uma possível solução para isso é , pois:
Show? Mas precisamos também que a nossa função seja limitada. Isso significa que a ela não pode tender para infinito se o raio cresce muito. Dessa maneira, como explode para quando o raio cresce, precisamos que , sendo . Assim a nossa função será da forma:
Onde é uma constante qualquer. Por que sobre 2? Porque vai ficar mais fácil de calcular na hora que expandimos em série.
Passo 3
Legal, vamos ver agora para a segunda possibilidade para: um valor negativo. Para representar claramente um valor negativo, substituímos-o por , para e . Assim, teremos:
Se consideramos , então:
Logo, temos aí uma possível solução. Porém, precisamos que ela seja periódica, e tanto o seno, quanto o cosseno hiperbólico, apesar do primeiro nome, não são periódicos! Assim, precisamos de , o que implica na solução trivial e, como deve ser limitada, , que não interessa a ninguém!
Passo 4
Finalmente, vamos testar para valores positivos, que podem ser representados por , para e . Assim sendo, teremos:
Assim como vimos no passo anterior, uma solução é:
Mas agora com seno e cosseno simplesmente. Essas funções são sempre periódicas, então não temos que descartar nenhuma por hora. Porém, para que seja -perídódica, precisamos que ... Sempre inteiro.
Está bem, vamos analisar a outra EDO agora:
Repare ali que a frente de cada derivada, surge um termo , isso é típico de um polinômio. Assim esperamos:
Como queremos que a função seja limitada, temos , ficando:
Juntando tudo, temos:
Onde e são constantes que facilitam na hora da série.
Passo 5
Beleza, agora que obtemos todas as possibilidades de solução, juntamos tudo numa só, ficando:
Onde o somatório apareceu, simplesmente porque temos várias possibilidades para , devendo considerar todas na solução.
Estamos bem perto, mas ainda não acabou. Precisamos achar o valor dessas constantes, para tal, vamos considerar a condição dada:
Igualando, temos:
Para tentar fazer o aparecer, vamos abrir um pouco nosso somatório:
Comparando termo a termo, vemos que precisamos que:
E, para que o apareça:
As demais constantes, podem ser nulas, ficando: