Dado , em que utilize o critério de Routh-Hurtwitz para determinar o número de polos de dentro, fora e sobre o círculo unitário. O sistema é estável?
Passo 1
Esse exercício jpa começa nos dando logo de cara a equação característica do sistema, que é:
É da equação característica que podemos tirar as informações sobre estabilidade do sistema. Só que a gente vai usar o método de Royht-Hurwitz para fazer isso, e esse método foi desenvolvido e funciona apenas no plano .
Então precisamos fazer uma adaptação, e para isso, usaremos a transformação bilinear. A transformação bilinear faz uma troca de variáveis, entre e conforme a expressão abaixo:
Vamos aplicar a transformação bilinear na nossa equação característica então:
Passo 2
Multiplicando toda a expressão por :
Expandindo os termos exponenciais:
Efetuando as multiplicações e juntando os termos iguais:
Passo 3
Agora que já temos a equação característica no plano , podemos aplicar o Critério de Routh.
O diagrama de Routh para essa equação será:
Caso você não se lembre como construir um diagrama de Routh seria legal dar uma revisada na aula de Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz.
O critério diz que a cada mudança de sinal na primeira coluna, existe uma raíz instável. Como houve uma mudança de sinal na primeira coluna apenas da primeira para a segunda linha, existe uma raíz instável, isto é, uma raiz com parte real positiva no plano , ou uma raiz dentro do circulo unitário com centro na origem no plano .
Como não tivemos uma linha de zeros, é impossível que haja raízes sobre o eixo dos imaginários no plano ou sobre a linha do cícrculo unitário no plano . Portanto, as outras duas raízes se encontram no semiplano esquerdo ou dentro do círculo unitário no plano .
Portanto o sistema é instável.
Resposta
Sistema instável. Duas raízes dentro do círculo unitário com centro na origem e uma fora.