Determine a faixa de ganho, , para tornar o sistema mostrado na figura abaixo estável.
Passo 1
Para determinar a estabilidade do sistema digital primeiro devemos encontrar a função de transferência em malha fechada dele no plano . Para isso, não podemos encontrar a função de transferência no plano e depois aplicar a transformada .
A abordagem correta na verdade é encontrar a função de transferência em malha aberta no plano , aplicar a transformada , encontrando a função de transferência em malha aberta no plano e com ela encontrar a função de transferência em malha dechada no plano .
Então vamos lá, primeiro de tudo vamos achara a função de transferência em malha aberta no plano :
Onde é a função de transferência do segurador.
Passo 2
Agora aplicamos a transformada para encontrar :
Manipulando um pouco temos:
Como pela definição temos que:
Podemos fazer:
Portanto:
Passo 3
Para fazer a transformada vamos aplicar a divisão em frações parciais:
Olhando uma tabela de transformada teremos:
Portanto:
Simplificando:
Fazendo o MMC e juntando tudo:
Sunstituindo :
Passo 4
Com a função de transferência em malha abreta podemos encontrar a função de transferência em malha fechada, :
Portanto:
Multplicando em cima e embaixo por teremos:
Passo 5
Para que o sistema seja estável, as raízes da equação característica devem estar dentro da circunferência de raio unitário com centro na origem. A equação característica para o sistema é o denominador da função de transferência, portanto:
Como o nosso polinômio é de primeira ordem, nós teremos apenas uma raíz. Para o sistema ser estável, é necessário que essa raíz esteja compreendida entre e .
A razíz será então:
Passo 6
Vamos primeiro encontrar o valor de K que torna a raíz :
E agora, vamos ber qual valor de faz com que a raíz seja :
Sendo assim, a faixa do ganho para o processo ser estável será:
Na maioria das vezes, vamos tentar evitar ganhos negativos, portanto: